Ganzrationale Funktion n-ten Grades bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 198     Aktiv: 20.11.2023 um 22:26

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Hallo zusammen,
nach einer kurzen Einführung in das Thema "Kurvenanpassung" habe ich folgende Aufgabe erhalten:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, deren Graph durch alle gegebenen Punkte verläuft.
A(-1|-5,5); B(1|-1,5); C(2|2); D(3|14,5); n = 3

Um mir die Aufgabe verständlicher zu machen, hatte ich mir die Punkte in meinem GTR zeichnen lassen und eine Regression (kubisch) vorgenommen.
Wie ich mithilfe des CAS die ganzrationale Funktion n-ten Grades bestimmen kann, ist für mich jedoch noch unklar.

Vielen Dank für eure Antworten schon einmal im Voraus :)

EDIT vom 20.11.2023 um 17:25:

Meine bisherige Überlegung war wie folgt:

EDIT vom 20.11.2023 um 21:42:


Jetzt hat der Upload funktioniert ^^
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Es ist ja $n=3$ gegeben. Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades lautet $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Nun Punkte einsetzen und das entstehende Gleichungssystem lösen. Wenn du nicht weiterkommst poste deine Überlegungen und wir sehen weiter.
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Vielen Dank für deine Antwort.

Meine bisherige Überlegung war die zu meiner Frage soeben angefügte Eingabe im CAS.
  ─   tristan100 20.11.2023 um 17:26

Dann wird sicherlich die Eingabe das Problem sein. Weiß nicht was du für ein Modell von CAS hast. Stelle doch einmal das lineare Gleichungssystem auf. Die Übung der Aufgabe ist sicherlich nicht nur wie man es in den Taschenrechner eingibt. Und wenn doch dann schau einmal in die Bedienungsanleitung wie man LGS lösen lassen kann. Es ist auch möglich das LGS händisch zu lösen, das ist sicherlich auch eine gute Übung und führt mit Sicherheit auf ein Ergebnis.   ─   maqu 20.11.2023 um 17:43

Ich verwende die Ti-Nspire App von Texas Instruments als ein CAS/GTR.

Wenn ich die erste Gleichung (A) aufstelle müsste diese dann eher wie folgt aussehen?

2,5=a*(-5.5)^3+b*(-5,5)^2+c*(-5.5)+d

Ich frage mich daher, ob mein Fehler in der Eingabe darin liegt, dass ich anstelle des Verweises auf die gespeicherte Gleichung jede dieser Gleichungen (hier: A=…; …; D= …) pro Zeile manuell in das Konstrukt eingeben muss.
  ─   tristan100 20.11.2023 um 20:03

Nein das stimmt nicht. Wo kommt die 2,5 auf der linken Seite her? Außerdem hast du den $y$-Wert für $x$ eingesetzt. Bei der Angabe eines Punktes hast du als erstes den $x$-Wert und als zweites den $y$-Wert.
Ich habe ja gemeint das deine anfängliche Eingabe das Problem sein wird. Was hindert dich daran es auszuprobieren oder nachzuschauen wie man LGS eingibt? Du solltest erst einmal damit anfangen die Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einzusetzen und die vier Gleichungen korrekt aufzuschreiben. Und Dinge wie $(-1)^3$ oder $2^2$ sollte man ausrechnen können (auch ohne CAS). Poste deine vier Gleichungen die DU erhältst. Erst wenn diese richtig sind kann man über eine Eingabe in die TI-App nachdenken.
  ─   maqu 20.11.2023 um 20:19

Ich hatte die Koordinaten der gegebenen Punkte mit einer anderen Aufgabe verwechselt. Meine Gleichungen A(-1|-5,5); B(1|-1,5); C(2|2) & D(3|14,5) lauten wie folgt:

-a + b - c + d = -5,5
a + b + c + d = -1,5
8a + 4b + 2c + d = 2
27a + 9b + 3c + d = 14,5
  ─   tristan100 20.11.2023 um 20:50

Der Syntaxfehler in meinem CAS lag an den fehlenden Multiplikationszeichen zwischen ax^3 --> a*x^3   ─   tristan100 20.11.2023 um 21:07

Die Gleichungen stimmen👍 und wenn das mit der Eingabe jetzt geklärt ist, kommst du dann auch auf eine Lösung?   ─   maqu 20.11.2023 um 21:22

Ja, a=1; b=-3/2 = -1,5; c=1; d=-2.
Daraus habe ich dann folgende Funktionsgleichung hergeleitet: (bereits vereinfacht):

f(x):=x^3-1,5x^2+x-2

Vielen Dank für deine Hilfe 😀
  ─   tristan100 20.11.2023 um 21:34

Bei einer weiteren Aufgabe (siehe Bild 2) muss ich nun den Flächeninhalt berechnen. Gibt es dort eine Formel zur Berechnung von A?   ─   tristan100 20.11.2023 um 21:38

Erstmal zur Rekonstruktion, sehr gut. Ein Bild mit einer zweiten Aufgabe kann ich leider nicht erkennen.   ─   maqu 20.11.2023 um 21:40

Das Bild ist jetzt hochgeladen. 😉   ─   tristan100 20.11.2023 um 21:44

Naja erst einmal Funktionsgleichung bestimmen und danach mit Hilfe der Integralrechnung die Fläche zwischen Graph und $x$-Achse berechnen.   ─   maqu 20.11.2023 um 21:55

Okay, wenn ich das Integral von 0 bis 10 für f(x)=1/108x^3-2/108x^2+65/54x dx rechne, komme ich auf einen Flächeninhalt von ≈ 12,35 FE (Flächeneinheiten).
In der Lösung zu der Aufgabe wird jedoch das Integral mal zwei genommen. Ist dies so, da es sich um eine zur x-Achse gespiegelten Funktion handelt?
  ─   tristan100 20.11.2023 um 22:13

Deine Funktion kann nicht stimmen, wenn ich die Probe mache komme ich auf den Punkt $(10|\frac{175}{9})$ und nicht auf $(10|0)$. Prüfe noch einmal die Funktionsgleichung.   ─   maqu 20.11.2023 um 22:26

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