Beweis beschränkte, endliche Menge hat keine Häufungspunkte

Erste Frage Aufrufe: 68     Aktiv: 19.04.2021 um 17:35

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Hallo zusammen,
das ist eine meiner Aufgaben! 
Denn Sinn hinter dieser Aussage habe ich denke ich verstanden! 
Und zwar hat diese Menge A keine Häufungspunkte, da sie eben endlich ist und sich somit ein Intervall zwischen den Elementen der Menge finden lässt mit r>0, sodass sich in dieser Umgebung eben keine Elemente der Menge selbst wiederfinden.
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt!
Mein Problem ist das Beweisen! 
Ich weiß gar nicht, wie ich meinen Beweis anfangen soll :(
Ich bin sehr dankbar für jeden Tipp und Hinweis!
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Das hast du dir doch schon gut überlegt. Der formale Beweis hängt natürlich von der genauen Definition von Häufungspunkten ab, da gibt es mehrere äquivalente Definitionen. Ich gehe mal von folgender aus: Ein Punkt \(x\) ist ein Häufungspunkt der Menge \(M\), falls es in jeder Umgebung von \(x\) mindestens einen Punkt aus \(M\) gibt.
Bei dieser Definition ist dein Ansatz fast schon ein vollständiger Beweis. Sei \(x\) ein Punkt und \(M=\{x_1,\ldots,x_n\}\) eine endliche Menge. Setze \(r:=\min\{|x-x_i| \ :\ i=1,\ldots,n\}\). Es gilt \(r>0\), da die Menge, über die das Minimum genommen wird, endlich ist. Dann ist \(M\cap \ ]x-r,x+r[\ =\emptyset\). Also ist \(x\) kein Häufungspunkt von \(M\).
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Vielen Dank erstmal!
Ich hätte nicht gedacht, dass es „das war“...
Haben sie Tipps, wie ich das besser lernen kann, selber darauf zu kommen??
Vom Prinzip her verstehe ich die Aufgaben immer, aber bei der Konstruktion des Beweises scheitert es bei mir (fast) immer :(
  ─   linablume 19.04.2021 um 17:23

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Ich habe übersehen, dass es um eine komplexe Menge geht. In diesem Fall musst du natürlich das offene Intervall durch einen offenen Ball ersetzen, also \(M\cap (B_r(x)\setminus\{x\})=\emptyset\) (Ich kann meine Antwort leider nicht mehr bearbeiten, nachdem du sie schon akzeptiert hast.)
Zum Finden eines Beweises ist es oft hilfreich, sich genau zu überlegen, was man zeigen/finden will. In diesem Fall muss das Ziel sein, zu jedem Punkt \(x\in\mathbb C\) eine Umgebung \(U(x)\) zu finden, sodass \(M\cap (U(x)\setminus\{x\})=\emptyset\). Die "kreative" Arbeit ist dann die Konstruktion dieses \(U(x)\). Hier hattest du ja schon die richtige Idee, das genaue Formulieren braucht einfach Übung.
  ─   stal 19.04.2021 um 17:32

Ach, stimmt! Hätte mir auch auffallen sollen!
Danke nochmals!!!!
Sie haben mir sehr weitergeholfen :)
  ─   linablume 19.04.2021 um 17:35

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