Das hast du dir doch schon gut überlegt. Der formale Beweis hängt natürlich von der genauen Definition von Häufungspunkten ab, da gibt es mehrere äquivalente Definitionen. Ich gehe mal von folgender aus: Ein Punkt \(x\) ist ein Häufungspunkt der Menge \(M\), falls es in jeder Umgebung von \(x\) mindestens einen Punkt aus \(M\) gibt.
Bei dieser Definition ist dein Ansatz fast schon ein vollständiger Beweis. Sei \(x\) ein Punkt und \(M=\{x_1,\ldots,x_n\}\) eine endliche Menge. Setze \(r:=\min\{|x-x_i| \ :\ i=1,\ldots,n\}\). Es gilt \(r>0\), da die Menge, über die das Minimum genommen wird, endlich ist. Dann ist \(M\cap \ ]x-r,x+r[\ =\emptyset\). Also ist \(x\) kein Häufungspunkt von \(M\).