Ableiten Brüche

Aufrufe: 240     Aktiv: 22.09.2023 um 11:47

0

f(x) = 3x+ 1 / x+9

f(x)= 6x−1 /(1x)3

Bei den Funktionen muss man doch bei beiden die Quotientenregel anwenden um abzuleiten oder?
Bei der ersten komme ich bis zur ersten Ableitung, die zweite und dritte bekomme ich jedoch nicht gelöst, obwohl ich die Regel meiner Meinung nach korrekt anwende..
Bei der zweiten Funktion komme ich überhaupt nicht weiter.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.

VG

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 14

 

Lade Deine Rechnung(en) als Foto hoch (oben "Frage bearbeiten"). Die zweite Funktion ist nicht lesbar.   ─   mikn 21.09.2023 um 23:26
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

Ich weiß nicht was so viele Leute gegen die Quotientenregel haben. Wenn man diese geschickt anstellt und im Zähler nicht immer gleich alles ausmultipliziert, kommt man meist auch zügig zur Ableitung. Und prinzipiell kann ich mich dem Kommentar von @mikn nur anschließen, ein Foto von deiner Rechnung macht es uns viel leichter deinen Gedankengang nachzuvollziehen. Du solltest bei Ableitungsregeln, wie auch bei der Quotientenregel $f'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$ für eine Funktion der Form $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, dir immer erst aufschreiben was $u(x), u'(x), v(x)$ und $v'(x)$ sind. Sobald der Term im Nenner quadratisch oder höherer Ordnung ist, kannst du im Zähler immer geschickt ausklammern und kürzen, was spätestens nach der ersten Ableitung der Fall ist. Ich nehme mal eine Beispielfunktion zum vorrechnen: $\dfrac{2x+5}{(x-1)^3}$. Es ergeben sich:

- $u(x)=2x+5$

- $u'(x)=2$

-$v(x)=(x-1)^3$

-$v'(x)=3(x-1)^2$

Nach dem Einsetzen in die Quotientenregel erhält man:
\[f'(x)=\dfrac{2\cdot(x-1)^3-(2x+5)\cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}=\ldots\]

Die meisten machen den Fehler, und ich glaube hier liegt dein Problem, das man jetzt den Zähler ausmultipliziert weil man denkt es wird dadurch einfacher. Aber man kann hier zuallererst ausklammern und dann kürzen, wodurch sich ergibt:
\[\ldots =\dfrac{(x-1)^2\cdot\big{(} 2(x-1)-3(2x+5)\big{)}}{(x-1)^6}=\frac{2x-2-6x-15}{(x-1)^4}=\dfrac{-4x-17}{(x-1)^4}\]
Hier brauch man glaube ich keine Polynomdivision um schneller auf die Ableitung zu kommen. Versuche diese Art und Weise doch gerne mal bei deinen Aufgaben umzusetzen und poste gerne deine Überlegungen.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 8.97K

 

1
Das ist ein sehr hilfreicher Tipp. Und der greift immer, sobald im Nenner $(...)^n$ steht mit $n\ge 2$.   ─   mikn 22.09.2023 um 10:01

maqu-s Antwort funktioniert natürlich auch.
Hier ein allgemeiner Tipp von meinem Mathelehrer: Ausklammern!
Ausklammern das Gegenteil von Ausmultiplizieren.
Ausklammern ist meistens schlau, Ausmultiplizieren oftmals nicht.
  ─   m.simon.539 22.09.2023 um 10:27

Vielen Dank, durch das Ausklammern konnte ich die erste Aufgabe lösen. :)
Bei der zweiten wird es auch so funktionieren, nur habe ich einen Fehler bei den Vorzeichen, welchen ich nicht finden kann.
Ich würde gerne meinen Rechenweg hochladen, das funktioniert aber leider weder vom Laptop aus, noch vom Handy..
  ─   user91b842 22.09.2023 um 11:40

@mikn danke ich hab’s berichtigt. @fragy manchmal ist die Qualität der Bilder zu hoch oder manchmal liegt es am Dateiformat. Gibt auch Alternativen wie imgur oder ähnliches.   ─   maqu 22.09.2023 um 11:47

Kommentar schreiben

0
Mit der Quotientenregel geht es, ist aber furchtbar viel Arbeit.

Bei der ersten Aufgabe empfielt es sich, zuvor eine Polynomdivision durchzuführen. Dann kannst Du f schreiben als
\( \mbox{Polynom} + \frac{\mbox{Konstante}}{x+9} \),
was sich dann deutlich leichter 3x ableiten lässt. Das geht dann auch ohne die Quotientenregel.

Bei der zweiten Aufgabe empfielt sich ebenfalls eine Zerlegung, und zwar
\( f(x) = \frac{A}{(1-x)^2} + \frac{B}{(1-x)^3} \)
wobei die Konstanten A und B so zu bestimmen sind, dass die obige Gleichung gilt.
Die beiden Summanden auf der rechten Seite lassen sich dann ebenfalls wesentlich leichter 3x ableiten.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.29K

 

Kommentar schreiben