Hallo,

in manchen Fällen können wir so abschätzen, das wir eine Restgliedabschätzung haben, die für alle \(x\) gleich ist. Im Allgemeinen, ist die Restgliedabschätzung aber erstmal abhängig von deiner Variablen. 
Das kannst du dir später einmal klar machen, indem du durch deine Taylorreihe einmal einen Wert deiner Funktion berechnest und einmal durch die Funktion selbst. Wenn du das mit verschiedenen \(x\) machst, wirst du sehen, das die Abweichung auch jedes mal variiert. 

Es gilt für das Restglied nach Lagrange

$$ |R_{n}f(x;a)|=\left|{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0)^{n+1}\right|\leq \sup _{\xi \in (\min(x,x_0); \max(x;x_0))}\left|{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0)^{n+1}\right| $$

Wie berechnen wir nun das Supremum (die kleinste obere Schranke)? 

Das ist unterschiedlich. Wie gesagt in manchen Fällen können wir eine allgemeine Abschätzung machen. Gerade bei beschränkten Funktion. Beispielsweise beim Sinus, da

$$ \vert \sin(x) \vert  \leq 1, \quad  \vert \cos(x) \vert \leq 1  $$

Dann haben wir aber wirklich den maximalen Fehler. Dieser kann manchmal besonders groß sein wenn wir auf diese Art und Weise abschätzen.

Deine Funktion ist aber leider nicht beschränkt. Gucken wir uns die dritte Ableitung an:

$$ f^{(3)}(x) = - \frac {15} {8x^{\frac 72}} $$

Setze wir die Ableitung mal in unser Restglied ein:

$$ \left|\frac { - \frac {15} {8\xi^{\frac 72}} } {(3)! } (x-x_0)^{3} \right| = \frac {15} {48} \frac 1 {\xi^{\frac 72}} (x-1)^3 $$

Das ist jetzt erstmal dein Restglied! Wir können nun den Fehler bestimmen, indem wir \( \xi \) abschätzen.

Nun gilt für \( \xi \):

$$ \xi \in (\min(x,1); \max(x,1)) $$

Da diese Funktion auf ihrem Definitonsbereich monoton steigend ist können wir folgende Aufteilung machen.

Wenn \( x > x_0 \) dann ist \( \xi = x \). Wenn \( x < x_0 \), dann ist \( \xi = x_0 = 1 \). Ist dir klar warum das aus der Monotonie folgt?

So kann man den maximalen Fehler in Abhängigkeit von \(x \) berechnen. 

Falls noch etwas unklar ist, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian