Hallo,

du möchtest zeigen, dass

$$|a_n-a|<\varepsilon$$

für fast alle \(n\) gilt.

Du weißt, dass 

$$|a_{2n}-a|<\varepsilon$$

und

$$|a_{2n+1}-a|<\varepsilon$$

für fast alle \(n\) gelten. Das heißt, es gibt ein \(n^*\in\mathbb{N}\) ab dem beides gilt. Aber wenn beides gilt, dann gilt auch was du zeigen möchtest, denn du kannst einfach folgendes sagen:

Sei \(m\in\mathbb{N}\) mit \(m\geq 2n^*+1\) beliebig. Dann gilt entweder \(m=2k\) oder \(m=2k+1\) für ein passendes \(k\in\mathbb{N}\). Falls \(m=2k\), dann gilt

$$|a_m-a|=|a_{2k}-a|<\varepsilon,$$

denn \(k=\frac{m}{2}\geq n^*\). Falls \(m=2k+1\) gilt, folgt analog:

$$|a_m-a|<\varepsilon.$$

Das heißt für alle \(m\geq 2n^*+1\) gilt:

$$|a_m-a|<\varepsilon.$$

Somit konvergiert \(a_m\) gegen \(a\).

Anschaulich ist das klar, deine Zeichnung zeigt das ja. Du kannst deine Folge \(a_n\) einfach in beide Teilfolgen zerlegen und per Fallunterscheidung zeigst du es für alle Folgenglieder! :)