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Guten Abend,

ich habe eine Matrix A 


Und soll mit dem Householder-Verfahren zeigen, dass die Matrix vollen Rang besitzt und die QR Zerlegung angeben. 

Meine Idee war, dass ich entsprechend das Q und R bestimme. Q ist regulär, da Q eine orthogonale Matrix ist. R wäre als obere Dreiecksmatrix regülär, wenn alle Diagonaleinträge ungleich 0 ist. Ich meine, dass das Produkt zweier regulärer Matrixen ist wieder regulär, oder gilt das nur für das Produkt quadratischer Matrizen?

Entsprechend wäre A regulär und hat vollen Rang. 

Ist das eine zielführende Idee, oder kann ich einfach eine QR zerlegung mit dem Verfahren angeben und sagen, dass die QR zerlegung nur für Matrizen mit vollen Rang existiert?

 

Vielen Dank für eure Hile 

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Man muss hier etwas aufpassen, da A nicht quadratisch ist.
Ich nehme mal die Definition, die bei wikipedia als "vollständige QR-Zerlegung" bezeichnet wird und die über Householder-Transformationen berechnet wird. Dann ist Q 4x4 und R 4x3. Prüfe, welche Def. in Deiner Vorlesung benutzt wird.
Wegen A=QR und Q regulär (da orthogonal) ist rang(A)=rang(R). An der Form von R kann man aber den Rang direkt ablesen (über die Anzahl der Nullzeilen).
Spoiler: A hat keinen vollen Rang, rang(A)=2.
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Ich danke dir. Hast Du vielleicht einen Link, wo ich den Beweis zu der Aussage: "Wegen A=QR und Q regulär (da orthogonal) ist rang(A)=rang(R). " nachlesen kann. Ich finde dazu leider nichts bei uns im Skript. Wir haben aber direkt danach die Singulärwertzerlegung gemacht und dort über den Rang von A gesprochen, als Anzahl von Singulärwerten ungleich 0. Kann ich das vielleicht daraus irgendwie folgern?   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 11:15

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Ich hab das auch nicht auf Anhieb gefunden, aber mir selbst überlegt. Es geht ja um die Anzahl lin. unabh. Spalten in R. Die Spalten von A sind dann Qr_i, wenn r_i die Spalten von R sind. Dadurch drückt sich lin. Unabhängigkeit direkt durch. Schreib mal eine Linearkomb. der r_i hin. Wie findet man dann eine der Spalten von A?   ─   mikn 13.12.2021 um 13:10

Erneut vielen Dank.vielleicht habe ich deine Überlegungen verstanden, Wenn ich die die Linerakomb. der Spalten von R hingeschrieben habe und dann die Spalten von A bestimmen will, muss ich ja 3 LGs lösen, wobei die Spalten von A entsprechend immer ein b wären, oder? Ich hadere noch ein wenig, den richtigen Schluss aus deinem Kommentar zu ziehen.   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 18:19

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Es geht nicht darum die Spalten zu bestimmen. Die sind klar aus der Def. der Matrixmultiplikation (Die Spalten von A=QR sind Qr_i). Es geht um Zusammenhänge dieser Spalten im Hinblick auf lin. unabh.: Wenn a*r_1+b*r_2=0 ist, was gilt dann für die erste und zweite Spalte von A?   ─   mikn 13.12.2021 um 18:23

Wenn die einzige Lösung (a,b)=(0,0) wäre, wären die Spalten linear unabhängig, ansonsten linear abhängig.   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 18:35

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Das war nicht meine Frage.   ─   mikn 13.12.2021 um 18:51

Sorry, dann versteh ich es nicht. Also irgendwie hat die Multiplikation von Q mit den Spalten von R keinen Einfluss auf die lineare Unabhängigkeit, denn die daraus resultierenden Matrix A hat dann auch entsprechend linear unabhängige Spalten. Wenn ich die Spalten von R linear kombinieren, sehe ich leider den Zusammenhang zu den Spalten von A nicht.   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 23:25

Das verstehe ich jetzt nicht. Du sagst "die Multiplikation von Q .... hat keinen Einfluss...." (darum ging es in meiner Frage), aber in dem folgenden Satz widersprichst Du genau dem wieder. Du könntest auch einfach meine Frage aus dem vorvorigen Kommentar beantworten.   ─   mikn 13.12.2021 um 23:33

Die Frage ist ja "was für die erste und zweite Spalte von A gilt". Ich verstehe den Zusammenhang der Linearkombination von a*r_1+b*r_2=0 und den ersten beiden Spalten von A nicht. Soll mir dieser Zusammenhang zeigen, dass wenn die Spalten von R linear unabhängig sind, dass dann auch die A von linear unabhängig sind. Tut mir leid, dass ich so ein schwieriger Fall bin.   ─   walterfrosch 14.12.2021 um 22:27

Ich vermute Du denkst zu kompliziert. Beim rang geht es um lineare (Un)Abhängigkeit von Spalten. Dazu betrachten wir als Idee die Gleichungen a*r_1+b*r_2=0. r_i sind die Spalten von R, die von A sind Qr_i, wobei Q regulär ist. NUR/!!!) aus den hier in diesem Kommentar genannten Zutaten: was gilt dann für die ersten beiden Spalten von A?   ─   mikn 14.12.2021 um 22:52

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Die Matrix $A$ kann nicht regulär sein, da sie nicht quadratisch ist. Eine QR-Zerlegung existiert für jede Matrix, nicht nur für Matrizen mit vollem Rang. In letzterem Fall ist die QR-Zerlegung lediglich eindeutig, wenn man die Diagonalelemente von $R$ so wählt, dass sie positiv sind.
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Danke dir, da habe ich natürlich in die ganz falsche Richtung gedacht. Hast Du eine Idee, wie ich dennoch zeigen kann, dass die Matrix A einen vollen Rank hat. Also mit dem Verfahren.   ─   walterfrosch 12.12.2021 um 20:01

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$A$ hat genau dann vollen Rang, wenn die Diagonalelemente von $R$ ungleich 0 sind. Entweder steht das im Skript oder du musst das beweisen.   ─   cauchy 12.12.2021 um 20:21

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