Mit dem Housholder-Verfahren zeigen, dass eine Matrix vollen Rang hat.

Aufrufe: 902     Aktiv: 14.12.2021 um 22:52
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Guten Abend,

ich habe eine Matrix A 


Und soll mit dem Householder-Verfahren zeigen, dass die Matrix vollen Rang besitzt und die QR Zerlegung angeben. 

Meine Idee war, dass ich entsprechend das Q und R bestimme. Q ist regulär, da Q eine orthogonale Matrix ist. R wäre als obere Dreiecksmatrix regülär, wenn alle Diagonaleinträge ungleich 0 ist. Ich meine, dass das Produkt zweier regulärer Matrixen ist wieder regulär, oder gilt das nur für das Produkt quadratischer Matrizen?

Entsprechend wäre A regulär und hat vollen Rang. 

Ist das eine zielführende Idee, oder kann ich einfach eine QR zerlegung mit dem Verfahren angeben und sagen, dass die QR zerlegung nur für Matrizen mit vollen Rang existiert?

 

Vielen Dank für eure Hile 

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2 Antworten
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Man muss hier etwas aufpassen, da A nicht quadratisch ist.
Ich nehme mal die Definition, die bei wikipedia als "vollständige QR-Zerlegung" bezeichnet wird und die über Householder-Transformationen berechnet wird. Dann ist Q 4x4 und R 4x3. Prüfe, welche Def. in Deiner Vorlesung benutzt wird.
Wegen A=QR und Q regulär (da orthogonal) ist rang(A)=rang(R). An der Form von R kann man aber den Rang direkt ablesen (über die Anzahl der Nullzeilen).
Spoiler: A hat keinen vollen Rang, rang(A)=2.
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Ich danke dir. Hast Du vielleicht einen Link, wo ich den Beweis zu der Aussage: "Wegen A=QR und Q regulär (da orthogonal) ist rang(A)=rang(R). " nachlesen kann. Ich finde dazu leider nichts bei uns im Skript. Wir haben aber direkt danach die Singulärwertzerlegung gemacht und dort über den Rang von A gesprochen, als Anzahl von Singulärwerten ungleich 0. Kann ich das vielleicht daraus irgendwie folgern?   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 11:15
Erneut vielen Dank.vielleicht habe ich deine Überlegungen verstanden, Wenn ich die die Linerakomb. der Spalten von R hingeschrieben habe und dann die Spalten von A bestimmen will, muss ich ja 3 LGs lösen, wobei die Spalten von A entsprechend immer ein b wären, oder? Ich hadere noch ein wenig, den richtigen Schluss aus deinem Kommentar zu ziehen.   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 18:19
Wenn die einzige Lösung (a,b)=(0,0) wäre, wären die Spalten linear unabhängig, ansonsten linear abhängig.   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 18:35
Sorry, dann versteh ich es nicht. Also irgendwie hat die Multiplikation von Q mit den Spalten von R keinen Einfluss auf die lineare Unabhängigkeit, denn die daraus resultierenden Matrix A hat dann auch entsprechend linear unabhängige Spalten. Wenn ich die Spalten von R linear kombinieren, sehe ich leider den Zusammenhang zu den Spalten von A nicht.   ─   walterfrosch 13.12.2021 um 23:25
Die Frage ist ja "was für die erste und zweite Spalte von A gilt". Ich verstehe den Zusammenhang der Linearkombination von a*r_1+b*r_2=0 und den ersten beiden Spalten von A nicht. Soll mir dieser Zusammenhang zeigen, dass wenn die Spalten von R linear unabhängig sind, dass dann auch die A von linear unabhängig sind. Tut mir leid, dass ich so ein schwieriger Fall bin.   ─   walterfrosch 14.12.2021 um 22:27

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Die Matrix $A$ kann nicht regulär sein, da sie nicht quadratisch ist. Eine QR-Zerlegung existiert für jede Matrix, nicht nur für Matrizen mit vollem Rang. In letzterem Fall ist die QR-Zerlegung lediglich eindeutig, wenn man die Diagonalelemente von $R$ so wählt, dass sie positiv sind.
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Danke dir, da habe ich natürlich in die ganz falsche Richtung gedacht. Hast Du eine Idee, wie ich dennoch zeigen kann, dass die Matrix A einen vollen Rank hat. Also mit dem Verfahren.   ─   walterfrosch 12.12.2021 um 20:01

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.