Globales Extrema mehrdimensional Lösung überprüfen

Erste Frage Aufrufe: 64     Aktiv: 02.12.2021 um 11:17

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Halle alle😁😁
ich hab hier eine Aufgabe mit der Funktion 
f(x,y,z)=e^(x^2-y^2+z^2) und ich soll jetzt bestimmen wo der höchste bzw. der niedrigste Punkt ist also das globale Extrema ist. Also ich hab alles partiell abgeleitet und den Gradienten bestimmt. Dann mit 0 gleichsetzen und so dann den Punkt P(0,0,0) bekommen. Danach habe ich Hf gebildet und P eingesetzt. Ich hab hier bei der Determinante ne -8 raus.
Das sind meine Partiellen Ableitungen:
Habe ich hier irgendwas falsch gemacht weil ich mir irgendwie unsicher bin. Irgendwie scheint mir beim Punkt P oder beim bestimmen der Determinate ein Fehler unterlaufen zu sein. Das glaube ich zumindestens

Vielen Dank im Voraus
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Hallo,

Vorweg: du schreibst ganz oben
$$ f(x.y.z) = e^{x^2 -y^2 + z}  $$
danach ist das $z$ aber immer quadriert im Exponenten. Irgendwo hast du dich also verschrieben.

Dein Punkt $P(0|0|0)$ ist schon mal richtig (falls $z^2$ im Exponenten steht). Ich verstehe aber nicht wieso du deine zweiten partiellen Ableitungen so schreibst. 
$$ 4x^2e^{x^2-y^2+z^2} + 2e^{x^2 -y^2 + z^2} \neq 2e^{-y} (2x^2+1) e^{x^2} + z^2 $$
Bei den anderen zweiten partiellen Ableitungen nach der selben Variable machst du nicht so eine Umformung. Du ziehst aber trotzdem immer das $e$ auseinander. Das würde ich nicht tun. Das macht es unübersichtlicher.
Am besten einfach
$$ f_{xx} = (4x^2+2)e^{x^2-y^2+z^2}  $$
Wenn wir den Punkt $P$ in die Hesse Matrix einsetzen, erhalten wir dann
$$ H_f(P) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
Davon ist die Determinante $-8$ wie du richtig sagst. Es stimmt also alles soweit. 

Wo genau entsteht denn deine Unsicherheit?

Grüße Christian
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