Erzeugte Untervektorräume

Erste Frage Aufrufe: 31     Aktiv: 02.05.2021 um 17:46

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Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Im $$\mathbb{R}^3$$ seien die Vektoren:

$$v_1:=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, v_2 :=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},  v_3 :=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}  v_4 :=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3.$$
gegeben.

Ist $$\langle v_1, v_2\rangle = \langle v_3, v_4 \rangle?$$
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Student, Punkte: 44

 

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2 Antworten
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Du kannst z.B. überprüfen, ob \(v_1,v_2\in\langle v_3,v_4\rangle\) gilt, dazu kannst du jeweils ein Gleichungssystem lösen. Gilt beides, würde daraus \(\langle v_1,v_2\rangle\subseteq\langle v_3,v_4\rangle\) und wegen der Dimension schon Gleichheit folgen. Gilt mindestens eines nicht, dann hast du schon ein Gegenbeispiel für die Gleichheit gefunden.
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Was hat es mit der Dimension auf sich, dass man nur \(v_1,v_2\in\langle v_3,v_4\rangle\) zeigen muss und \(v_3,v_4\in\langle v_1,v_2\rangle\) nicht?   ─   walvede 02.05.2021 um 16:54

Gilt \(\langle v_1,v_2\rangle\subseteq\langle v_3,v_4\rangle\), dann sind das zwei Vektorräume gleicher Dimension 2, folglich müssen sie schon gleich sein. Das sieht man z.B. daran, dass eine Basis des ersten auch eine Basis des zweiten Untervektorraums sein muss.   ─   stal 02.05.2021 um 17:02

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Beide Unterräume haben dieselbe Basis \(\pmatrix{1\\0\\0},\pmatrix{0\\1\\0}\)
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Lehrer/Professor, Punkte: 2.84K
 

Nein, es ist sicher \(v_2\notin\langle(1,0,0)^t,(0,1,0)^t\rangle\), da die \(x_3\)-Koordinate nicht \(0\) ist.   ─   stal 02.05.2021 um 17:46

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