Annahme: mit \( (\mathbb{N}, < ) \) ist die allseits bekannte Ordnungsrelation gemeint, ebenso auf den ganzen Zahlen.
Die Antwort (also der genaue Beweis) hängt ein wenig davon ab, ob \( 0 \in \mathbb{N} \). Ich gehe mal von der Konvention \( 0 \not\in \mathbb{N} \) aus, so dass die 1 die kleinste natürliche Zahl ist.
Angenommen es gäbe einen solchen Epimorphismus \( \varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \), d.h. \( \varphi \) ist surjektiv und für alle natürlichen Zahlen a und b mit \( a < b \) gilt \( \varphi (a) < \varphi (b) \) bzw. äquivalent \( \varphi(a) \geq \varphi(b) \Rightarrow a \geq b \)
Sei dann \( z \in \mathbb{Z} \) definiert als \( z := \varphi(1) \). Weil \( \varphi \) surjektiv ist, gibt es eine natürliche Zahl n mit \( \varphi(n) = z - 1 \).
Wegen \( z \geq z-1 \) folgt also \( \varphi(1) \geq \varphi(n) \) und daher \( 1 \geq n \). Da n aber eine natürliche Zahl ist, muss \( 1 = n \) gelten, da es keine kleiner natürliche Zahl gibt als die 1. Wenn aber 1 = n, dann ist auch \( \varphi(1) = \varphi(n) \) und daher \( z = z - 1 \). Ein Widerspruch.
Kurz gesagt kann es keinen Epimorphismus geben, weil die ORdnungsrelation auf \( \mathbb{N} \) ein kleinestes Element besitzt, auf \( \mathbb{Z} \) hingegen nicht.
Softwarearchitekt, Punkte: 115
Eva ─ evatsigkana 05.07.2019 um 17:22
mich verwundert hier etwas die Darstellung \( ( \mathbb{N} , <) \)
Welche Struktur soll das sein? Das ist ja keine Gruppe.
Würden wir nur eine Abbildung \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \) betrachten, so könnten wir eine surjektive Abbildung finden, zum Beispiel indem wir alle gerade natürlichen Zahlen auf alle positiven (inkl Null) ganzen Zahlen abbilden und alle ungeraden natürlichen Zahlen auf die negativen ganzen Zahlen. Wir haben hier sogar eine Bijektion.
Deshalb denke ich das es etwas mit der Struktur \( (\mathbb{N} , < ) \) zu tun hat. Wir müssen uns also überlegen, warum
\( \varphi : (\mathbb{N} , < ) \to ( \mathbb{Z} , < ) \)
nicht surjektiv sein kann.
Grüße Christian ─ christian_strack 05.07.2019 um 11:07