Epimorphismus

Aufrufe: 1308     Aktiv: 06.07.2019 um 17:06

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Hallo zusammen,

bei der untenstehenden Aufgabe, ist meine Überlegung, dass es keinen Epimorphismus geben kann, weil es um surjektive Homomorphismen geht und bei der Aufgabe "treffen nicht alle Natürliche Zahlen" die "Ganzen Zahlen".

Ist mein Ansatz richtig oder völlig daneben?

Beweisen Sie, dass es keinen Epimorphismus von (N, <) auf (Z,<) geben kann.

Vielen Dank

Eva

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Student, Punkte: 50

 

Hallo,

mich verwundert hier etwas die Darstellung \( ( \mathbb{N} , <) \)
Welche Struktur soll das sein? Das ist ja keine Gruppe.

Würden wir nur eine Abbildung \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \) betrachten, so könnten wir eine surjektive Abbildung finden, zum Beispiel indem wir alle gerade natürlichen Zahlen auf alle positiven (inkl Null) ganzen Zahlen abbilden und alle ungeraden natürlichen Zahlen auf die negativen ganzen Zahlen. Wir haben hier sogar eine Bijektion.

Deshalb denke ich das es etwas mit der Struktur \( (\mathbb{N} , < ) \) zu tun hat. Wir müssen uns also überlegen, warum
\( \varphi : (\mathbb{N} , < ) \to ( \mathbb{Z} , < ) \)
nicht surjektiv sein kann.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 05.07.2019 um 11:07

Hallo Christian,
leider kann ich die Formel aus meiner Tastatur nicht richtig schreiben. Unten siehst du eine detaillierte Antwort von Dr_Las, die ich zwar sehr gut nachvollziehen kann, aber ich würde nie auf diese Idee kommen.
Zu deiner Frage, würde ich einfach sagen, dass die Natürlichen Zahlen mehr als die Ganzen Zahlen sind, nämlich die Ganzen Zahlen auch die negativen Zahlen beinhalten, deshalb kann diese Relation nicht surjektiv sein.
Vielen vielen DANK
Eva
  ─   evatsigkana 05.07.2019 um 17:25

Vergiss meinen Kommentar. dr_lars hat das wunderbar gelöst.
Nur nebenbei die natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen haben die selbe Mächtigkeit (selbe "Größe"). Da beide Mengen unendlich sind definiert man gleichmächtigkeit darüber das es eine bijektive Abbildung zwischen beiden Mengen gibt und die oben genannte wäre eine.
Aber wie gesagt lass dich davon nicht verwirren, ich stand bei dem Problem etwas auf dem Schlauch und habe nicht dran gedacht das ganze einfach als Menge mit Verknüpfung zu sehen.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 05.07.2019 um 17:31

Danke dir, Christian! Dein Kommentar hilft mir aber sehr. Du gibst mir immer Hinweise und dann kann ich mir selber weiter überlegen. Danke sehr!
Lieben Gruß
Eva
ps. Bei der Lösung v Dr_Jas habe ich immer noch das ""φ(n)=z - 1" nicht verstanden.
  ─   evatsigkana 05.07.2019 um 17:36

Das freut mich sehr zu hören :)

dr_lars hat in seinem Beweis die Annahme aufgestellt, das es einen solchen Epimorphismus gibt und will dies dann zu einem Widerspruch führen. Damit beweist er dann das es keinen gibt.

Machen wir uns einmal klar was Epimorphismus bedeutet. Wir haben also einen surjektiven Homomorphismus.
Homomorphismus impliziert in Bezug auf die Verknüpfung <
\( z_1 < z_2 \Rightarrow \varphi(Z_1) < \varphi(z_2) \)
Homomorphismus bedeutet das eine gewisse Art von Struktur erhalten bleibt (in Bezug auf die Verknüpfungen)
Die Struktur die wir hier erhalten ist das wir eine Ordnung haben (wir können sagen welches Element größer bzw kleiner ist)

Nun zur Surjektivität: Es muss jedes Element des Zielbereichs \( (\mathbb{Z},<) \) angenommen werden.

Jetzt zu deiner Frage. Sie bezieht sich eigentlich auf deine Idee, das nicht jede Zahl angenommen werden kann. Wir haben ja die Annahme das es so einen Epimorphismus gibt, also wird von unserer Abbildung jede ganze Zahl angenommen. Das bedeutet aber auch das es eine Zahl \( n \) gibt, für die gilt
\( \varphi(n) = z-1 \) ( die ganzen Zahlen können eben auch negativ sein, deshalb ist es egal welche ganze Zahl \( z \) ist, \( z-1 \) existiert immer)
Was bedeutet das jetzt? Wir haben festgelegt, das \( \varphi(1) = z \). Nun muss dadurch das wir unserer Ordnungsstruktur erhalten \( n < 1 \) sein, da \( z -1 < z \), also \( \varphi(n) < \varphi(1) \) gilt.
Nun ist aber \( 1 \) die kleinste natürliche Zahl, also kann es so eine Zahl \( n \) nicht geben.

Dies führt zum Widerspruch und beweist die Aussage.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 05.07.2019 um 18:16

Du und die anderen, die mir bei den Aufgaben helft, seid wirklich toll!
Vlt. schaffe ich sogar die Klausur am 22.
Beste Grüße
Eva
  ─   evatsigkana 05.07.2019 um 20:06

Immer schön sowas zu hören :).
Du bist auf einem sehr guten Weg das zu verstehen. Auch hier hattest du ja die richtige Grundidee. Die Schwierigkeit ist das ganze perfekt mathematisch zu formulieren und das bedarf einer Menge Übung. Ich denke nicht das du für deine Klausur ein so ausführlicher Beweis von nöten ist.
Das wichtigste ist vorher nicht zusehr verrückt machen. ;)
Wenn Fragen aufkommen, melde dich jederzeit wieder

Grüße Christian
  ─   christian_strack 06.07.2019 um 13:14

Danke vielmals!!! Vor der Mathe-Klausur habe ich eine Klausur in c++ ...   ─   evatsigkana 06.07.2019 um 17:06
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Annahme: mit \( (\mathbb{N}, < ) \) ist die allseits bekannte Ordnungsrelation gemeint, ebenso auf den ganzen Zahlen.

Die Antwort (also der genaue Beweis) hängt ein wenig davon ab, ob \( 0 \in \mathbb{N} \). Ich gehe mal von der Konvention \( 0 \not\in \mathbb{N} \) aus, so dass die 1 die kleinste natürliche Zahl ist.

Angenommen es gäbe einen solchen Epimorphismus \( \varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \), d.h. \( \varphi \) ist surjektiv und für alle natürlichen Zahlen a und b mit \( a < b \) gilt \( \varphi (a) < \varphi (b) \) bzw. äquivalent \( \varphi(a) \geq \varphi(b) \Rightarrow a \geq b \)

Sei dann \( z \in \mathbb{Z} \) definiert als \( z := \varphi(1) \). Weil \( \varphi \) surjektiv ist, gibt es eine natürliche Zahl n mit \( \varphi(n) = z - 1 \).

Wegen \( z \geq z-1 \) folgt also \( \varphi(1) \geq \varphi(n) \) und daher \( 1 \geq n \). Da n aber eine natürliche Zahl ist, muss \( 1 = n \) gelten, da es keine kleiner natürliche Zahl gibt als die 1. Wenn aber 1 = n, dann ist auch \( \varphi(1) = \varphi(n) \) und daher \( z = z - 1 \). Ein Widerspruch.

Kurz gesagt kann es keinen Epimorphismus geben, weil die ORdnungsrelation auf \( \mathbb{N} \) ein kleinestes Element besitzt, auf \( \mathbb{Z} \) hingegen nicht.

 

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Softwarearchitekt, Punkte: 115

 

Wirklich tolle Erklärung, Dr_lars. Ich habe alles verstanden! Meine Überlegung war mehr oder weniger richtig. Natürlich total unmathematisch formuliert. Leider fällt mir noch total schwierig das ganze Wissen zu kombinieren und damit eine Lösung zu finden. Vielen vielen DANK!
Eva
  ─   evatsigkana 05.07.2019 um 17:22

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