Hier (im 2. Fall) wird kein Bruch mit -1 multipliziert. Es wird die Definition des Betrags verwendet, die da lautet: \(|y|=-y\) falls \(y<0\).
Also: \(|\frac1{x+2}|=\frac1{|x+2|}=\frac1{-(x+2)}\) usw.
Es würde auch helfen, nichts wegzulassen bei der Lösung.
Eine vollständige Lösung (die man auch später noch versteht) sollte so anfangen:
2. Fall: \(x+2<0\), also \(x<-2\), dann gilt:
\(|\frac1{x+2}| <10\iff \frac1{-x-2}<10\)  (Begründung s.o.)
\(\iff ...\) usw.

Der Rechenweg auf dem Bild ist völlig korrekt, allerdings ist die Lösungsmenge falsch angegeben. Die müsste \( L=\{ x \in \mathbb{R} \ \vert \ x < -2,1 \lor x>-1,9 \} \) sein. Die Lösungsmenge auf dem Bild kann allein deshalb schon nicht sein, da \( -1,9 \) größer als \( -2,1 \) ist und somit kann es gar kein \( x \) geben mit \( -1,9 < x < -2,1 \).