Kovariante Ableeitung/ Geodätische Krümmung

Aufrufe: 342     Aktiv: 04.12.2022 um 19:00
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Guten Abend, 

ich versuche für einen Vortrag folgenden Beweis nachzuvollziehen. Habe jedoch noch Schwierigkeiten mit zwei Aussagen. Es folgt die Proposition 


 
    Es sei $x(u.v)$ eine orthogonale Parametrisierung d.h. $F=0$ einer Umgebung einer orientierte Fläche $S$ und $w(t)$ ein differenzierbares Einheitsvektorfeld längs der Kurve $x(u(t),v(t))$. Dann gilt
$$ \left [\frac{Dw}{dt} \right ]=\frac{1}{2\sqrt{EG}} \left(G_{u} \frac{dv}{dt}-E_{v} \frac{du}{dt}\right)+\frac{d \varphi}{dt}$$
 
 
 
Beweis: 
Es seien $e_1=x_{u}/\sqrt{E}$, $e_2=x_{v}/\sqrt{G}$ die Einheitsvektoren tangential an den Koordinatenkurven.
Es gilt somit $e_1 \times e_2=N$. Mit dem Lemma 2.5 folgt, dass 
 
$$ \left [ \frac{Dw}{dt} \right]= \left [ \frac{De_{1}}{dt} \right ]+ \frac{d \varphi}{dt},$$
wobei $e_{1}(t)=e_{1}(u(t),v(t))$ das Vektorfeld $e_1$ eingeschränkt auf die Kurve $x(u(t),v(t))$ ist. Den algebraischen Wert der kovarianten Ableitung von $e_1$ können wir nun mit Hilfe der Definition in 2.3 weiter vereinfachen. Es gilt 
$$\left [ \frac{De_{1}}{dt} \right ]= \left \langle \frac{de_{1}}{dt},N \times e_1 \right \rangle  = \left \langle \frac{de_{1}}{dt},e_2 \right \rangle  = \langle (e_1)_u,e_2 \rangle \frac{du}{dt}+ \langle(e_1)_v,e_2 \rangle \frac{dv}{dt}.$$
Es gilt $N \times e_1 = e_2$  
Das letzte Gleichheitszeichen folgt aus der Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel, das heißt
$$\frac{de_1}{dt}=(e_1)_u \frac{du}{dt}+(e_1)_v \frac{dv}{dt}.$$
Andernfalls gilt, da $F=0$ ist,
 
$$\langle x_{uu},x_{v} \rangle=-\frac{1}{2}E_v \: \Rightarrow  \langle (e_1)_u,e_2 \rangle= \left \langle \left ( \frac{x_u}{\sqrt{E}}\right )_u,\frac{x_v}{\sqrt{G}} \right \rangle  = - \frac{1}{2}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}. $$
Analog folgt 
$$ \langle x_{uv},x_v \rangle=  - \frac{1}{2} G_u \: \Rightarrow  \langle (e_1)_v,e_2 \rangle= \frac{1}{2} \frac{G_u}{\sqrt{EG}}.$$
Setzt man (2.3) und (2.4) in die Gleichung (2.1) ein und klammert aus folgt insgesamt
 
$$\left [\frac{Dw}{dt} \right ]=\frac{1}{2\sqrt{EG}} \left(G_{u} \frac{dv}{dt}-E_{v} \frac{du}{dt}\right)+\frac{d \varphi}{dt}.$$
Der Beweis stammt aus https://doi.org/10.1007/978-3-322-85072-0 ( 4.4, Proposition 3).

Nun meine beiden Fragen: 
 
1. Warum gilt $e_1 \times e_2 = N$ und $N \times e_1 =e_2$

Liegt es daran, dass e1 und e2 tangential an den Koordinatenkurven liegen und somit mit N ein Dreibein bilden? Ist dazu wichtig, dass F=0 ist?
 
2. Die schwiergie Frage, warum gilt folgende Gleichheit 

 

Wenn ich die Ableitung mit der Quotientenregel bilde, kommt nichts sinnvolles raus.
Ich möchte ja folgendes Nutzen

EDIT vom 04.12.2022 um 19:00:

EDIT: Ich habe den zweiten Teil der Frage gelöst. Es liegt daran, dass $x_u \cdot x_v=0$ ist
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Wie Du siehst, funktioniert $$ bei der Eingabe nicht, verwende nur ein Dollarzeichen.
Zu 1) Dazu müssten wir wissen, was $N$ ist. Du solltest schon ALLE Bezeichnungen angeben. Wenn $N$ ein Normalenvektor ist, dann ist schonmal $e_1\times e_2 \parallel N$. Für Gleichheit kommt es dann nur noch auf Länge an. Dazu müssen wir aber wissen, was $E$ und $G$ ist.
Zu 2) Wenn Du das zweite (das "folgende", das Du nutzen willst) gegeben hast, steht das ja sofort da: Rausziehen der Konstanten (wie bei Deiner vorigen Frage).
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