Basis eines Vektorraumes wenn die Vektoren Funktionen sind - Basis wieder Funktionen?

Erste Frage Aufrufe: 404     Aktiv: 15.02.2022 um 08:57
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Ich habe gerade dieses Video geguckt: https://www.youtube.com/watch?v=8UKQhjekmEg&list=PLLTAHuUj-zHg5aCwkY8rEdui-bhZnJloM&index=8

Hier wurde erklärt, dass ein Vektorraum auch die Menge aller Funktionen über dem Körper der reelen Zahlen sein kann.

Es gab die Einschränkung, nur Funktionen mit Polynomen maximal 3ten Grades.

Am Ende wurde die Basis festgelegt als: $\{x^3, x^2, x^1, x^0\}$.

Wieso muss die Basis nicht aus Funktionen bestehen? Ich hätte erwartet, dass die Basis
$\{x \rightarrow x^3, x \rightarrow x^2, x \rightarrow x^1, x \rightarrow x^0\}$ wäre.

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Polynome sind (zummindest in der Algebra) keine Funktionen! Ein Polynom mit Koeffizienten in \(R\) ist eine Folge in \(R\) die irgendwann verschwindet,  d.h. es existiert \(N\in \mathbb{N}\), so dass für alle Folgenglieder ab \(N\) die Folge \(0\) ist. Man definiert dann \(X\) als die Folge \((0,1,0,0,0,\ldots )\). Ein Polynom ist also allein durch seine Koeffizienten charakteristiert, was sehr gut ist, weil man so die sogenannten Einsetzunhshomorphismen auf bestimmte Ringe einschränken kann.
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