Umsatz Steigerung, verfünffachung in Prozent

Erste Frage Aufrufe: 1800     Aktiv: 05.12.2019 um 12:15

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Das ist die Aufgabe:

Du gründest ein Unternehmen. Um wie viel Prozent pro Jahr (gegenüber dem Vorjahr) musst du den Umsatz durchschnittlich steigern, damit er sich in 10 Jahren verfünffacht.

Die Antwort hierzu ist 17,46%. 

Nun zu meiner Frage. Wie berechne ich das, welche Formel muss verwendet werden und in welches Themenfeld fällt das? Ich komme absolut nicht weiter da ich kein Ansatzpunkt habe.

Vielen Dank schonmal für alle Hilfen :)

 

Quelle: Übungsaufgaben für eine Hochschulzulassung 

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Hallo,

das Themengebiet ist Prozentrechnung.

Wir haben einen Umsatz, nennen wir diesen allgemein \( U \). Dieser soll jährlich um einen Prozentsatz \( p \) steigen. Das drücken wir mit

$$ U \cdot (1+p) $$

aus. \( 1+p \), da der Umsatz steigen soll. Durch die \( 1 \) behalten wir die vorherigen \(100\% \) und erhöhen um \( p \).

Nun soll nach \( 10 \) Jahren, der \( 5\)-fachse Umsatz erreicht sein. Wenn sich \( 10 \) Jahre lang der Umsatz erhöht, drücken wir das mit

$$ U \cdot (1+p)^{10} $$

aus. Wie bereits erwähnt, steigert \( 1+p \) den Umsatz um den gewollten Prozentsatz und durch die Potenz \( 10 \) machen wir das \(10\) Mal.

Den fünfachen Umsatz drücken wir mit

$$ 5 \cdot U $$

aus. Damit erhalten wir letztendlich den Zusammenhang

$$ \begin{array}{ccccl} & U \cdot (1+p)^{10} & = & 5 \cdot U & \vert \div U \\ \Rightarrow & (1+p)^{10} & = & 5 & \vert \sqrt[10]{\ldots} \\ \Rightarrow & 1+p & = & \sqrt[10]{5} & \vert -1 \\ \Rightarrow & p & = & \sqrt[10]{5}-1 \\ \Rightarrow & p & = & 0,174618\ldots  \\ \Rightarrow & p & \approx & 17,46\% \end{array} $$

Grüße Christian

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