Da stehen einfach ein paar Aussagen untereinander. Das ist kein Beweis. Die richtige Idee ist aber drin. Ein Beweis ist eine Abfolge von Argumenten, die beginnend bei der Voraussetzung bei der Behauptung ankommt.
Der Anfang des Beweises lautet hier:
"Seien $a,b,c\in Z$ mit $a|b$ und $a|c$." Das ist rein abgeschrieben, das schafft man immer und so hat man den Anfang schonmal richtig.
Jetzt kommt der kreative Teil. Was bedeutet $a|b$ nach Def. von "teilt"? Was bedeutet die Behauptung? Das ist eine Nebenüberlegung. Der Beweis geht dann so weiter.
"D.h. ....." (Def. einsetzen). Steht in Deiner Rechnung mittendrin.
Bringe alles in eine logische Reihenfolge und vor allem: Verwende Worte, wie d.h., also folgt, es gibt usw..

Es gibt tatsächlich viele kurze Beweise. Das ist in der Regel nicht das Problem. Das Problem bei deinem "Beweis" ist, dass es keinerlei Struktur gibt, insbesondere deswegen nicht, weil du den allgemeinen Fall mit einem konkreten Zahlenbeispiel vermischst. Sowas macht man nicht. Zahlenbeispiele sind gut. Die macht man aber nicht in einem Beweis, sondern um sich die Aussage klar zu machen und zu verstehen. Außerdem sollte man sich angewöhnen, mathematischen Text zu schreiben und nicht nur einfach "Formeln hinzuklatschen". 

Fange also so an: Es seien $a,b,c\in \mathbb{Z}$ und es gelte $a|b$ und $a|c$. Dann gibt es ... (Definition benutzen und mathematisch korrekt aufschreiben). Wegen $b-c=\dots$ folgt $a|(b-c)$. 

Das ist viel strukturierter und kann man viel besser lesen und verstehen. Es hilft auch, sich für solche kleinen Beweise mal andere Beweise in Büchern durchzulesen, um zu lernen, wie man sowas mathematisch korrekt formuliert. Ansonsten sind die Ideen in deinem Beweis nicht falsch. Du musst es halt nur ordentlich aufschreiben. :)