Die Matrix muss keinesfalls eine Nullspalte haben.
Eine lin. Abb. hat auch keine Determinante, aber die Matrix zur Abb. hat eine Determinante.
Sei $A$ die Matrix zur Abb. $\varphi$.
Dann klar und einfach:
$\det A = 0 \iff$ die Spalten von $A$ sind lin. abh. $\iff$ es gibt $v\neq 0$ mit $A\,v=0\iff \varphi$ ist nicht injektiv.
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