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Das ist von der Idee her richtig, aber im Detail und von den Formulierungen her nicht.
Die Matrix muss keinesfalls eine Nullspalte haben.
Eine lin. Abb. hat auch keine Determinante, aber die Matrix zur Abb. hat eine Determinante.
Sei $A$ die Matrix zur Abb. $\varphi$.
Dann klar und einfach:
$\det A = 0 \iff$ die Spalten von $A$ sind lin. abh. $\iff$ es gibt $v\neq 0$ mit $A\,v=0\iff \varphi$ ist nicht injektiv.
Die Matrix muss keinesfalls eine Nullspalte haben.
Eine lin. Abb. hat auch keine Determinante, aber die Matrix zur Abb. hat eine Determinante.
Sei $A$ die Matrix zur Abb. $\varphi$.
Dann klar und einfach:
$\det A = 0 \iff$ die Spalten von $A$ sind lin. abh. $\iff$ es gibt $v\neq 0$ mit $A\,v=0\iff \varphi$ ist nicht injektiv.
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mikn
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