Ich habe auch beharrlich Gleichungen 4. Grades herausbekommen.

Nach langen Probieren ist mir ist folgende Lösung eingefallen:
Sei x die Länge der roten und z die Länge der grünen Linie in der Zeichnung (die Leiter ist blau, der Würfel gelb):


Dann gilt nach Strahlensatz \(\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{1}{z}\), also
  \(\displaystyle x=\frac{1}{z}\)
Wg. Pythagoras gilt
  \((x+1)^2 + (1/x+1)^2 = 10^2\)
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt
  \(x^2+2x + 2 + 2/x+1/x^2= 100\)
Nun addiere ich auf beiden Seiten 1:
  \(x^2+2x + 3 + 2/x+1/x^2= 101\)
Das Schöne ist nun, dass man die linke Seite auch als Quadrat schreiben kann:
  \(\left(x+1+1/x\right)^2= 101\)
Wurzelziehen ergibt:
  \(\pm (x+1+1/x)=  \sqrt{101}\)
Die Klammer ist >0, denn \(x>0\). Also:
  \(x+1+1/x= +\sqrt{101}\)
Das kann man in eine quadratische Gleichung in x umformen. Beide x sind zulässig, denn man kann die Leiter auf zwei Arten an den Würfel anlehnen.Man stellt die Leiter aber dann wohl immer doch so an, dass das kleinere x gilt.