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Hallo,
ich bin etwas unsicher was deine Frage angeht, weil der 2. Fall ja nicht auf dem Blatt steht. Oder übersehe ich etwas? Du gehst ja von 1.F nach 3.F
Deine Rechnungen sind aber bis hier hin richtig. Allerdings findest du ja für \( x \geq 2 \) und \( x < \frac 32\) die Lösung:
$$ x = \frac 2 3 $$
diese muss natürlich auch in deine Lösungsmenge.
Es fehlt jetzt nur noch der Fall: \( x < -2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \).
Zu deiner Zeichnung: Das hellgrüne sieht gut aus (\([\frac 3 2 , )\)). Wenn du mit dem hellblauen Strich in der Mitte das Intervall \((- \infty , - 2 ) \) kennzeichnen willst, dann ist das falsch. Das Intervall ist der komplette Zahlenstrahl links von der \( -2 \).
Ich hoffe ich konnte alle Fragen klären. Wenn nicht, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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In jedem Fall bestimmst du eine theoretische Lösung. Dann überprüfst du ja schon richtig, ob diese Lösung im Definitionsbereich des Falls liegt. Wenn ja, dann ist es schon automatisch eine Lösung der Betragsgleichung und wenn nicht, dann kann es keine Lösung sein. Du musst die Lösung dann nicht mehr in die Betragsgleichung einsetzen. Kannst du aber machen um dich abzusichern. Es ist nur eine Probe.
Ich würde das jetzt mal mit der Lösung einer quadratischen Gleichung mittels pq-Formel vergleichen. Alle Lösungen durch die pq-Formel sind auf jeden Fall Lösungen. Du kannst die gefundenen Lösungen aber nochmal als Probe in die quadratische Gleichung einsetzen, um sicher zu sein das du dich nicht verrechnet hast. Musst du aber nicht :) ─ christian_strack 26.11.2020 um 19:02
Und der fall x < -2 und x größer gleich 3/2 sollte eigentlich umgekehrt sein, oder? Ich hab ja ganz unten den 2. Fall ausgerechnet
─ anonym 27.11.2020 um 13:37
Was genau meinst du mit umgekehrt? Beim 4. Fall reicht es sich den Definitionsbereich anzugucken. Welche Zahlen erfüllen denn überhaupt die beiden Eigenschaften \( x < -2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \)?
Welche Lösungsmenge resultiert dann am Ende? ─ christian_strack 28.11.2020 um 11:38
Braucht man den 4. Fall? Denn wir haben nur 3 Fälle unterschieden. ─ anonym 01.12.2020 um 13:08
1. \( x \geq -2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \).
2. \( x <-2 \) und \( x <\frac 3 2 \).
3. \( x \geq -2 \) und \( x < \frac 3 2 \).
4. \( x <-2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \).
die müssen auf jeden Fall auch alle untersucht werden. Aber der 4. Fall klät sich sofort durch die Betrachtung des Definitionsbereichs. Es gibt nämlich keine Zahl die kleiner als \(-2 \) ist und zugleich größer als \( \frac 3 2 \). Deshalb ist für diesen Fall die Definitionsmenge leer und somit liefert der Fall auch keine Lösung :)
Deine Lösungsmenge ist also
$$ \mathbb{L}= \{ \frac 2 3, 4 \} $$ ─ christian_strack 01.12.2020 um 13:56
Fall 2 steht ganz unten :) nämlich das Intervall -2 und 3/2.
Ach genau 2/3 muss ja mit, denn wenn ich 2/3 in die Ausgangsgleichung einsetze, dann kommt links und rechts das gleiche raus. Was ich eigentlich wissen will ist: Die lösungsmenge bestimmt man ja, indem man die x werte in die Ausgangsgleichung einsetzt und schaut, ob was wahres bzw, das Ergebnis (hier in diesem Fall) links und rechts übereinstimmt, oder?
Und warum hast du x<2? Müsste das nicht x< - 2 sein? ─ anonym 26.11.2020 um 16:17