Betragsgleichungen

Aufrufe: 147     Aktiv: 1 Monat, 3 Wochen her

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Hallo Leute,

Sind die Fallunterscheidungen richtig? Vor allem beim 2. Ist der 2. Fall und der Zahlenstrahl richtig? Wie siehts mit der Lösungsmenge aus? Denn wenn ich x=4 in die Ausgangsgleichung einsetze, dann kommt was wahres raus. Deswegen ist die Lösungsmenge hier 4, oder? Denke ich richtig?

gefragt 1 Monat, 4 Wochen her
anonym
Punkte: 98

 
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2 Antworten
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Hallo,

ich bin etwas unsicher was deine Frage angeht, weil der 2. Fall ja nicht auf dem Blatt steht. Oder übersehe ich etwas? Du gehst ja von 1.F nach 3.F 

Deine Rechnungen sind aber bis hier hin richtig. Allerdings findest du ja für \( x \geq 2 \) und \( x < \frac 32\) die Lösung: 

$$ x = \frac 2 3 $$

diese muss natürlich auch in deine Lösungsmenge. 

Es fehlt jetzt nur noch der Fall: \( x < -2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \). 

Zu deiner Zeichnung: Das hellgrüne sieht gut aus (\([\frac 3 2 , )\)). Wenn du mit dem hellblauen Strich in der Mitte das Intervall \((- \infty , - 2 ) \) kennzeichnen willst, dann ist das falsch. Das Intervall ist der komplette Zahlenstrahl links von der \( -2 \).

Ich hoffe ich konnte alle Fragen klären. Wenn nicht, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

geantwortet 1 Monat, 4 Wochen her
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.85K
 

Dankeschön!
Fall 2 steht ganz unten :) nämlich das Intervall -2 und 3/2.
Ach genau 2/3 muss ja mit, denn wenn ich 2/3 in die Ausgangsgleichung einsetze, dann kommt links und rechts das gleiche raus. Was ich eigentlich wissen will ist: Die lösungsmenge bestimmt man ja, indem man die x werte in die Ausgangsgleichung einsetzt und schaut, ob was wahres bzw, das Ergebnis (hier in diesem Fall) links und rechts übereinstimmt, oder?
Und warum hast du x<2? Müsste das nicht x< - 2 sein?
  ─   anonym 1 Monat, 4 Wochen her

Oh ja absolut richtig. Habe das Minus vergessen. Habe es korrigiert. :)
In jedem Fall bestimmst du eine theoretische Lösung. Dann überprüfst du ja schon richtig, ob diese Lösung im Definitionsbereich des Falls liegt. Wenn ja, dann ist es schon automatisch eine Lösung der Betragsgleichung und wenn nicht, dann kann es keine Lösung sein. Du musst die Lösung dann nicht mehr in die Betragsgleichung einsetzen. Kannst du aber machen um dich abzusichern. Es ist nur eine Probe.
Ich würde das jetzt mal mit der Lösung einer quadratischen Gleichung mittels pq-Formel vergleichen. Alle Lösungen durch die pq-Formel sind auf jeden Fall Lösungen. Du kannst die gefundenen Lösungen aber nochmal als Probe in die quadratische Gleichung einsetzen, um sicher zu sein das du dich nicht verrechnet hast. Musst du aber nicht :)
  ─   christian_strack 1 Monat, 4 Wochen her

Danke :) Ja, aber es kann ja sein dass x im definitonsbereich enthalten ist, aber die probe dann eine falsche Aussage ist. ZB. bei wurzelgleichungen ist es ja oft der Fall.
Und der fall x < -2 und x größer gleich 3/2 sollte eigentlich umgekehrt sein, oder? Ich hab ja ganz unten den 2. Fall ausgerechnet
  ─   anonym 1 Monat, 3 Wochen her

Bei Wurzelgleichungen kann das passieren, da wir in einer Wurzelgleichung die Gleichung quadrieren um auf mögliche Lösungen zu kommen. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung. Deshalb kann es passiere, dass wir neue Lösungen erzeugen, die die eigentliche Gleichung aber nicht lösen können. Bei einer Betragsgleichung wird dir das für gewöhnlich nicht passieren. Außer es ist eine Kombination aus Betrag und Wurzel.

Was genau meinst du mit umgekehrt? Beim 4. Fall reicht es sich den Definitionsbereich anzugucken. Welche Zahlen erfüllen denn überhaupt die beiden Eigenschaften \( x < -2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \)?

Welche Lösungsmenge resultiert dann am Ende?
  ─   christian_strack 1 Monat, 3 Wochen her

Achso okay, danke!
Braucht man den 4. Fall? Denn wir haben nur 3 Fälle unterschieden.
  ─   anonym 1 Monat, 3 Wochen her

Wir haben 4 verschiedene Fälle.
1. \( x \geq -2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \).
2. \( x <-2 \) und \( x <\frac 3 2 \).
3. \( x \geq -2 \) und \( x < \frac 3 2 \).
4. \( x <-2 \) und \( x \geq \frac 3 2 \).

die müssen auf jeden Fall auch alle untersucht werden. Aber der 4. Fall klät sich sofort durch die Betrachtung des Definitionsbereichs. Es gibt nämlich keine Zahl die kleiner als \(-2 \) ist und zugleich größer als \( \frac 3 2 \). Deshalb ist für diesen Fall die Definitionsmenge leer und somit liefert der Fall auch keine Lösung :)

Deine Lösungsmenge ist also
$$ \mathbb{L}= \{ \frac 2 3, 4 \} $$
  ─   christian_strack 1 Monat, 3 Wochen her

Perfekt, danke danke!! :)   ─   anonym 1 Monat, 3 Wochen her

Sehr gerne :)   ─   christian_strack 1 Monat, 3 Wochen her
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Dieses Schema ist m.E. leichter zu verstehen und weniger fehleranfällig.
Außerdem wird genau dasselbe Prinzip früher oder später beim MONOTONIE-Schema gebraucht.

Du kannst Dir die relevanten Funktionen mit ein paar Clicks von Geogebra zeichnen lassen.
Bei der blauen Funktion h sieht man sehr schön die 3 zu untersuchenden Bereiche.

 

geantwortet 1 Monat, 3 Wochen her
xx1943
Punkte: 787
 

Super, vielen Dank! Kann ich fragen, woher du diese Tabelle hast?   ─   anonym 1 Monat, 3 Wochen her
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