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Zunächst einmal gehört zu einer sauberen Induktion immer noch die Formulierung der Induktionsbehauptung. Desweiteren ist in der vorletzten der Ausdruck mit der Summe des $(n+1)$-ten Glieds merkwürdig, einfach das letzte Glied der Summer abtrennen und dann kommst du, wie es schon in deiner letzten Zeile steht, auf $(n+1)(n+2)$.

Zu deiner Frage mit dem Induktionsschritt, du bist doch so gut wie fertig. Klammere einfach $\frac{1}{3}(n+1)(n+2)$ aus und schon steht das Ergebnis da. Wenn es dir nicht gleich ersichtlich wird, dann erweitere den hinteren Term mit $3$, dann solltest du es erkennen.