Um das mit der Kondition besser zu verstehen, am besten ein Beispiel. Gegeben seien die Matrix \(A=\begin{pmatrix}10^{-9} &1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) und der Vektor \(b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\). Die Lösung des Systems \(Ax=b\) ist ganz offensichtlich \(x=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Verändern wir den Vektor \(b\) nun in der erstem Komponente um einen geringen Fehler \(\Delta b=10^{-6}\), so liefert der Lösungsoperator mit \(A^{-1}=\begin{pmatrix}10^9 & -10^9 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) das Ergebnis \(x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}1000 \\1\end{pmatrix}\). Der Fehler von \(10^{-6}\) wird also um den Faktor \(10^9\) verstärkt. Das Problem bzw. die Matrix \(A\) ist in diesem Fall schlecht konditioniert, da ein kleiner Fehler der Eingabe, die Ausgabe deutlich verändert.  

Wir haben keine Eingabemenge, sondern EINEN Eingabewert. Bei LGS versteht man darunter die rechte Seite (im einfachen Fall - natürlich ist die Matrix auch eine Eingabe, die fehlerbehaftet ist, das führt zu aufwendigeren Formeln).

Wichtig ist, sich das Problem hinzuschreiben:

Geg. A, b

Ges.: x als Lösung von Ax=b.

Generell also Eingabefehler E, Ausgabefehler f(E), das liegt jetzt an der Linearität, denn Eingabe b+E ergibt als Lösung xf=inv(A)*(b+E)=inv(A)*b+inv(A)*E=x+inv(A)*E. Der Fehler ist also inv(A)*E=f(E).

Eingabe also E, Ausgabe f(E). Wenn z.B. f(E)=2E ist, heißt das, der Fehler in der Lösung des LGS ist doppelt so groß wie der Eingabfehler. Damit ist man aber als Numeriker nicht unzufrieden, denn "2mal größer" fällt noch nicht unter "viel größer". Es gibt (praxisrelevante!) Beispiel, wo sich der Fehler um den Faktor 10^6 oder so verstärkt, was solche LGS schwierig zu lösen macht.

Sicherheitshalber: Hier gehen wir aus von fehlerbehafteter rechter Seite b, und fehlerfreie Matrix A. Und wir reden nur vom absoluten Fehler. Und natürlich löst man NIE ein LGS (mit n>2) mit der Inversen.