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Zwei Ebenen \(E_1, E_2\) sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren \(n_1, n_2\) kolinear sind.
D.h. wenn es ein \(c\not=0\) gibt mit \(n_1 = c n_2\).
Sei \(d_1\) diejenige Zahl, für die \(d_1 = n_1 \cdot x\) für alle \(x\in E_1\) gilt.
Sei \(d_2\) diejenige Zahl, für die \(d_2 = n_2 \cdot x\) für alle \(x\in E_2\) gilt.
Zwei Ebenen sind identisch, wenn \(d_1 = c\, d_2\).
Zwei Ebenen sind echt parallel, wenn sie parallel, aber nicht identisch sind.
Damit kann man ausrechnen, dass keine zwei Ebenen aus Deiner Beispiel-Ebenenschar
\(F_a = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3;\; (a-1)x + (-a+1)z = 2a+2\}\)
identisch sind.
Dazu nehme man zwei Zahlen \(a_1\not=1,a_2\not=1, a_1\not=a_2\).
Setze \(E_1 = F_{a_1}, \;E_2 = F_{a_2}\).
Die Normalenvektor lauten \(n_1 = (a_1-1) (1,0,-1),\; n_2 = (a_2-1) (1,0,-1)\).
Dann ist \(\displaystyle c=\frac{a_1-1}{a_2-1}\), \(d_1 = 2a_1+2\), \(d_2 = 2a_2+2\).
Wie man leicht nachrechnen kann, ist \(d_1 \not \not = c\, d_2\).
D.h. wenn es ein \(c\not=0\) gibt mit \(n_1 = c n_2\).
Sei \(d_1\) diejenige Zahl, für die \(d_1 = n_1 \cdot x\) für alle \(x\in E_1\) gilt.
Sei \(d_2\) diejenige Zahl, für die \(d_2 = n_2 \cdot x\) für alle \(x\in E_2\) gilt.
Zwei Ebenen sind identisch, wenn \(d_1 = c\, d_2\).
Zwei Ebenen sind echt parallel, wenn sie parallel, aber nicht identisch sind.
Damit kann man ausrechnen, dass keine zwei Ebenen aus Deiner Beispiel-Ebenenschar
\(F_a = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3;\; (a-1)x + (-a+1)z = 2a+2\}\)
identisch sind.
Dazu nehme man zwei Zahlen \(a_1\not=1,a_2\not=1, a_1\not=a_2\).
Setze \(E_1 = F_{a_1}, \;E_2 = F_{a_2}\).
Die Normalenvektor lauten \(n_1 = (a_1-1) (1,0,-1),\; n_2 = (a_2-1) (1,0,-1)\).
Dann ist \(\displaystyle c=\frac{a_1-1}{a_2-1}\), \(d_1 = 2a_1+2\), \(d_2 = 2a_2+2\).
Wie man leicht nachrechnen kann, ist \(d_1 \not \not = c\, d_2\).
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m.simon.539
Punkte: 2.52K
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Wie kommst du denn darauf: d1=2a1+2?
─
handfeger0
23.11.2024 um 11:04
Kann ich nicht auch einfach zeigen, dass aus d1=c*d2 mit c=(a1-1)/(a2-1) folgt, dass a1=a2 was ein Wiederspruch zur anfänglichen Annahme ist?
─
handfeger0
23.11.2024 um 12:17
"\(d_1=2a_1+2\)" folgt wie folgt:
Es ist \(n = (a-1, 0, -1+a)\) ein Normalenvektor, wie von Dir ja angegeben.
Bei der Ebene \(E_1\) ist \(a=a_1\).
\(n_1\) soll der Normalenvektor von \(E_1\) sein, also: ist \(n_1 = (a_1-1, 0, -1+a_1)\).
Es ist \(d_1 = n_1 \cdot x\) für alle \(x\in E_1\).
Das wiederum ist lt. Deiner Ebenengleichung \(2 a+2 = 2a_1+2\).
Natürlich kann man hier auch einen Widerspruchsbeweis führen. Hier führen viele Wege nach Rom. ─ m.simon.539 23.11.2024 um 12:46
Es ist \(n = (a-1, 0, -1+a)\) ein Normalenvektor, wie von Dir ja angegeben.
Bei der Ebene \(E_1\) ist \(a=a_1\).
\(n_1\) soll der Normalenvektor von \(E_1\) sein, also: ist \(n_1 = (a_1-1, 0, -1+a_1)\).
Es ist \(d_1 = n_1 \cdot x\) für alle \(x\in E_1\).
Das wiederum ist lt. Deiner Ebenengleichung \(2 a+2 = 2a_1+2\).
Natürlich kann man hier auch einen Widerspruchsbeweis führen. Hier führen viele Wege nach Rom. ─ m.simon.539 23.11.2024 um 12:46
Vielen Dank!
─
handfeger0
23.11.2024 um 12:53
Sehe gerade, dass in deiner Antwort die rechte Seite der Ebene nur aus „2a“ besteht - deshalb war ich verwirrt.
Du führst doch im Prinzip auch einen Widerspruchsbeweis durch - oder?
Setzt du c in die Gleichung ein, kommt raus a1=a2 , was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass a1 ungleich a2… ─ handfeger0 23.11.2024 um 12:55
Du führst doch im Prinzip auch einen Widerspruchsbeweis durch - oder?
Setzt du c in die Gleichung ein, kommt raus a1=a2 , was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass a1 ungleich a2… ─ handfeger0 23.11.2024 um 12:55
Eine Frage dazu hätte ich noch:
Wenn man einen Punkt P so bestimmen kann, dass dieser die Gleichung der Schar erfüllt und dieser selbst keinen Parameter enthält, sollten die parallelen Ebenen auch identisch sein - korrekt?
Demnach müssten alle Punkte, die in der Schar sind, ohne Parameter zu schreiben sein. Gilt im Umkehrschluss auch, wenn Punkte nur in Abhängigkeit des Parameters in der Ebenenschar liegen, dass die Ebenen dann echt parallel sind?
Setzt man in unserem Beispiel z.B. für x=0, so folgt, dass z=(2a+2)/(-a+1). Aus diesem Bruch lässt sich a nicht herauskürzen. Sie Punkt P(0|y|(2a+2)/(-a+1)) (mit y feste aber beliebige reelle Zahl) liegt in der Ebene E_a aber nicht in der Ebene E_b, wenn a ungleich b.
Betrachtet man hingegen die Schar F_a:(a-1)x+(-a+1)z=-2a+2, so liegt der Punkt Q (0|y|2) in der Ebene F_a und F_b wenn a ungleich b.
─ handfeger0 23.11.2024 um 14:35
Wenn man einen Punkt P so bestimmen kann, dass dieser die Gleichung der Schar erfüllt und dieser selbst keinen Parameter enthält, sollten die parallelen Ebenen auch identisch sein - korrekt?
Demnach müssten alle Punkte, die in der Schar sind, ohne Parameter zu schreiben sein. Gilt im Umkehrschluss auch, wenn Punkte nur in Abhängigkeit des Parameters in der Ebenenschar liegen, dass die Ebenen dann echt parallel sind?
Setzt man in unserem Beispiel z.B. für x=0, so folgt, dass z=(2a+2)/(-a+1). Aus diesem Bruch lässt sich a nicht herauskürzen. Sie Punkt P(0|y|(2a+2)/(-a+1)) (mit y feste aber beliebige reelle Zahl) liegt in der Ebene E_a aber nicht in der Ebene E_b, wenn a ungleich b.
Betrachtet man hingegen die Schar F_a:(a-1)x+(-a+1)z=-2a+2, so liegt der Punkt Q (0|y|2) in der Ebene F_a und F_b wenn a ungleich b.
─ handfeger0 23.11.2024 um 14:35
Wenn man einen Punkt P so bestimmen kann, dass dieser die Gleichung der Schar erfüllt
und dieser selbst keinen Parameter enthält,
UND DIE EBENEN KOLINEARE NORMALENVEKTOREN HABEN,
dann sind alle Ebenen einer Schar identisch.
Die Antwort auf die zweite Frage lautet: ja! Allerdings liegt in dieser frage Verwirrungspotential: Der Begriff "Parameter". Es gibt ja noch die Parameterdarstellung von Ebenen, z.B. \(E = \{(r+2,s,r);\; r,s\in\mathbb{R}\}\). Dann sind r,t Parameter. Das sind aber andere Parameter als unser a.
Nun kann man auch eine Ebenen-Schar in Parameterdartstellung darstellen, z.B.
\(\displaystyle F_a = \left\{r+\left(\frac{2a+2}{a-1},s,r\right);\; r,s\in\mathbb{R}\right\}\).
Aus dieser Parameterdastellung kriegt man das a nicht heraus, drum können die Ebenen nicht alle identisch sein.
Aus der Geradenschar
\(\displaystyle G_a = \left\{r+\left(\frac{2a-2}{a-1},s,r\right);\; r,s\in\mathbb{R}\right\}\).
hingegen kann man a eleminieren:
\(\displaystyle G_a = \left\{(r+2,s,r);\; r,s\in\mathbb{R}\right\} = E\).
Drum sind alle \(G_a\) identisch.
Jetzt kann natürlich noch ein Zwischenfall auftreten: Nicht alle, aber doch einige Ebenen einerSchar sind identisch, z.B.
\(H_a=\{(x,y,z); x+z=a^2\).
Dann ist \(H_1=H_{-1}\), aber \(H_1\not =H_0\)
─ m.simon.539 23.11.2024 um 19:03
und dieser selbst keinen Parameter enthält,
UND DIE EBENEN KOLINEARE NORMALENVEKTOREN HABEN,
dann sind alle Ebenen einer Schar identisch.
Die Antwort auf die zweite Frage lautet: ja! Allerdings liegt in dieser frage Verwirrungspotential: Der Begriff "Parameter". Es gibt ja noch die Parameterdarstellung von Ebenen, z.B. \(E = \{(r+2,s,r);\; r,s\in\mathbb{R}\}\). Dann sind r,t Parameter. Das sind aber andere Parameter als unser a.
Nun kann man auch eine Ebenen-Schar in Parameterdartstellung darstellen, z.B.
\(\displaystyle F_a = \left\{r+\left(\frac{2a+2}{a-1},s,r\right);\; r,s\in\mathbb{R}\right\}\).
Aus dieser Parameterdastellung kriegt man das a nicht heraus, drum können die Ebenen nicht alle identisch sein.
Aus der Geradenschar
\(\displaystyle G_a = \left\{r+\left(\frac{2a-2}{a-1},s,r\right);\; r,s\in\mathbb{R}\right\}\).
hingegen kann man a eleminieren:
\(\displaystyle G_a = \left\{(r+2,s,r);\; r,s\in\mathbb{R}\right\} = E\).
Drum sind alle \(G_a\) identisch.
Jetzt kann natürlich noch ein Zwischenfall auftreten: Nicht alle, aber doch einige Ebenen einerSchar sind identisch, z.B.
\(H_a=\{(x,y,z); x+z=a^2\).
Dann ist \(H_1=H_{-1}\), aber \(H_1\not =H_0\)
─ m.simon.539 23.11.2024 um 19:03
Danke für die Bestätigung meiner Vermutung.
Dein Zwischenfall kann aber nur auftreten, wenn der Parameter der Schar nicht linear ist - oder?
Das gleiche sollte auch für Geradenscharen gelten.
Tritt der Parameter nur linear auf und sind die Richtungsvektoren der Geradenschar kollinear, sind die Geraden entweder ALLE echt parallel oder ALLE identisch ? ─ handfeger0 24.11.2024 um 12:02
Dein Zwischenfall kann aber nur auftreten, wenn der Parameter der Schar nicht linear ist - oder?
Das gleiche sollte auch für Geradenscharen gelten.
Tritt der Parameter nur linear auf und sind die Richtungsvektoren der Geradenschar kollinear, sind die Geraden entweder ALLE echt parallel oder ALLE identisch ? ─ handfeger0 24.11.2024 um 12:02
@m.simon?
─
handfeger0
26.11.2024 um 15:37