Wertemenge komplizierter Funktionen bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 66     Aktiv: 02.01.2022 um 22:54

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Hallo. Für die folgende Aufgabe sollte kein Taschenrechner verwendet werden: Man soll die Wertemenge folgender 2 Fuktionen bestimmen:  1) y = (1)/(x^2 − 1) ; 2) y = (Wurzel aus (1-x^2))-1.

Ich finde das ist ziemlich schwer im Kopf vorstellbar. Gäbe es hierbei ein gewisses Vorgehen oder einen Trick, wie man bei solchen Funktionen die Wertemenge bestimmen kann?

EDIT vom 02.01.2022 um 19:30:

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1 Antwort
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Zwischen TR und "im Kopf" gibt es viele Möglichkeiten.
Man braucht auch keinen Trick, das Vorgehen ist immer dasselbe:

Gesucht sind die $y$, für die es ein $x\in D$ gibt mit $y=f(x)$. Ob es so ein $x$ gibt (können auch mehrere sein), findet man durch Umstellen heraus. Dabei merkt man nämlich, ob so eine Umstellung möglich ist.
Vorgehen also:
Definitionsbereich $D$ finden.
Dann Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ umstellen.

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Also muss man so gesehen die "Umkehrfunktion" bilden, da diese den Wertebereich abbildet? Richtig?   ─   user11e5fa 02.01.2022 um 15:51

Ja, aber nur "Umkehrfunktion" in Anführungszeichen. Die muss es ja nicht geben (es kann ja mehrere x geben mit y=f(x). Ist aber für die Wertemenge egal).
  ─   mikn 02.01.2022 um 16:09

Also hier meine neue Frage: ich muss bei der Funktion y=(Wurzel aus(1-x^2))-1 die Wertemenge angeben. Dafür wolle ich die Umkehrfunktion bilden, da ich dadurch auch die Wertemenge herausfinden kann. Ich weiß, dass bei dieser Funktion die Wertemenge von -1 bis 0 geht, jedoch kriege ich das nicht hin (siehe Foto oben unter (1))   ─   user11e5fa 02.01.2022 um 19:30

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Zur Klärung muss man hier genauer hinschauen:
Die Gleichung $(y+1)^2=1-x^2$ ist eine Kreisgleichung, d.h. alle Punkte $(x,y)$, die auf dem Kreis um $(0,-1)$ mit Radius 1 liegen, bilden die Lösungsmenge dieser Gleichung. Eine Skizze zeigt dann, dass hierbei $y\in [-2,0]$ ist. Das hast Du vielleicht gefunden - in Deiner Lösung sehe ich kein Ergebnis für eine Wertemenge.
Nun geht es uns aber um die Gleichung $y=\sqrt{1-x^2}-1$ und diese ist $\bf nicht$ äquivalent zu der quadrierten Form. Das ist nie der Fall, weil Quadrieren $\bf keine$ Äquivalenzumformung ist. Aus $y=...$ folgt $(1+y)^2=..:$, aber $\bf nicht$ umgekehrt. Wir wissen also erstmal nur, dass die Wertemenge $\subseteq [-2,0]$ ist. An der Originalgleichung sehen wir aber, dass $y\ge -1$ sein muss (Wurzeln sind stets $\ge 0$). Durch das Quadrieren kommt die Lösung $y=-\sqrt{1-x^2}-1\le -1$ hinzu, die wollen wir aber nicht. Wir müssen daher diesen Teil (also den $<-1$) noch rausnehmen.
Generell also Vorsicht beim Quadrieren und Wurzelziehen - $\bf keine$ Äquivalenzumformung.

  ─   mikn 02.01.2022 um 22:54

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