Hallo

Also du weiss ja, dass \((a_n)_n\) konvergiert, das ist ja schon super, sonst hätte man das auch zeigen müssen. Nun gibt es verschiedene Tricks die du anwenden kannst um den Grenzwert zu berechnen, wenn es geht könntest du z.B. eine explizite Bildungsvorschrift aufstellen und diese per Induktion beweisen, geht hier aber meines erachtens nicht wirklich gut, also versuchen wir es anders.

Da du weisst, dass \((a_n)_n\) konvergiert, so sagen wir doch mal ganz ahnungslos, dass 
\(a=lim_{n\rightarrow \infty}a_{n+1}\)
So nun setzen wir die Definition für \((a_{n+1})\) ein und erhlaten
\(a=lim_{n\rightarrow \infty} 1+\frac{1}{a_n}\)
Nun wenden wir die Grenzwertsätze an und erhalten
\(a=1+\frac{1}{lim_{n\rightarrow \infty}a_n}\)
Aber wir haben ja oben \(a=lim_{n\rightarrow \infty}a_{n+1}=lim_{n\rightarrow \infty}a_n\) gesetzt, also setzen wir doch das erneut ein und erhalten 
\(a=1+\frac{1}{a}\)

Na gut nun haben wir einfach eine Gleichung die von unserem Grenzwert a abhängt, also lösen wir die, dann erhalten wir
\(a=1+\frac{1}{a} \Leftrightarrow a^2-a-1=0 \Leftrightarrow a_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Wir bemerken dass einer dieser zwei Grenzwerte genau der gesuchte ist, doch nun müssen wir den zweiten noch ausschliessen, denn du kannst leicht erkennen/beweisen, dass deine Folge monoton wachsend ist, da zusätzlich \(0<a_0=2\) gilt, folgt daraus, dass der Grenzwert der Folge nur \(a=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) sein kann, und wir sind fertig.