Statistik Frage

Aufrufe: 742     Aktiv: 18.11.2021 um 20:37
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Original in English:
You got a coin and know it could either be a fair coin that shows heads in 50% of cases or an unfair coin that shows heads in 33% of cases. You throw the coin 3 times and it shows head once and tails twice. What’s the probability that the coin is the unfair coin

Deutsch:
Sie haben eine Münze und Sie wissen die Münze can entweder eine faire Münze sein die Kopf in 50% der Fälle zeigt, oder eine unfaire Münze die in 33% der Fälle Kopf zeigt. Sie werfen die Münze 3 mal und es zeigt sich einmal Kopf und zweimal Zahl. Was ist die Wahscheinlichkeit dass die Münze eine unfaire Münze ist?

Lösungsvorschlag: (1/3 * 2/3 * 2/3 * 3) / [(1/3 * 2/3 * 2/3 * 3) + 3*(1/2)^3] = ca. 54,24%
Antwort: Wahrscheinlichkeit dass die Münze unfair ist liegt bei 54,24%.

Diese Lösung ist laut Aussage des Aufgabenstellers falsch. Jedoch ist die korrekte Lösung nicht bekannt.

Bitte wie ist die korrekte Lösung mit Lösungsweg?

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gefragt

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2 Antworten
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Hallo!

Da der andere Eintrag mit derselben Frage inzwischen gelöscht wurde, wiederhole ich mich hier gerne noch einmal. Die gestellte Frage lässt sich mit den gegebenen Informationen nicht beantworten, da nicht bekannt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit die geworfene Münze fair (bzw. manipuliert) ist. Dies ist aber genau die Information, die man bräuchte, um Bayes anzuwenden ...

Eine weitere Aufgabe aus dem Bereich Stochastik, die Murks ist ...

Gruß, Ruben

P.S. Der Fragesteller mag intendiert haben, dass man davon ausgehen soll, dass die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Münze fair bzw. manipuliert ist, jeweils \( \frac{1}{2} \) beträgt, doch ist dies erstens nicht explizit so angegeben und darüber hinaus gibt es auch keinen sachlogischen Grund, warum das so sein sollte. Ein Falschspieler könnte beispielsweise 10 Würfel haben, von denen neun fair sind und lediglich einer manipuliert. Und von diesen 10 Würfeln wählt er einen zufällig aus und wirft ihn dreimal. Es könnte aber natürlich auch noch unendlich viele andere Möglichkeiten geben ...
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Um Bayes anwenden zu können, muss man die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze fair oder eben nicht fair ist, angeben können. Soweit stimme ich zu.
Allerdings kann man die Aufgabe auch so verstehen - wenn sie nicht eh so gemeint war -, dass man eben eine faire oder eine unfaire Münze hat Chance 50:50. Jetzt tritt das Ereignis ein 1x Kopf, 2x Zahl. Und man soll dann berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es eine faire Münze war. Also P(F|A).
Aber ich weiß schon, wieso du meinst "Eine weitere Aufgabe ...". Leider ist es in der Stochastik sprachlich oft nicht eindeutig, was genau gemeint ist und es gibt jede Menge Raum für Interpretationen.   ─   lernspass 16.11.2021 um 10:24

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Die Wahrscheinlichkeiten, die du berechnet hast, sind doch die bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass das Ereignis eintrifft unter der Bedingung, dass die Münze fair ist und dass sie nicht fair ist.

Jetzt suchst du die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze fair ist unter der Bedingung des Ereignisses.

Dafür brauchst du den Satz von Bayes und den von der totalen Wahrscheinlichkeit.

EDIT 16.11.2021 10:24

Ich setze voraus, dass \(P(F) = P(\overline{F}) = \frac{1}{2}\) ist. Es ist eine Münze vorhanden und diese ist mit einer Chance von 50:50 fair oder eben nicht. Sonst kann man Bayes und die totale Wahrscheinlichkeit nicht anwenden.

Berechnet wurde bereits \(P(A|F) = \frac{3}{8}\) und \(P(A|\overline{F}) = \frac{4}{9}\)

Ich suche jetzt P(F|A). Nach Bayes ist das \(P(F|A)=\frac{P(A|F)\cdot P(F)}{P(A)}\).

P(A) erhält man nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit mit \(P(A) = P(A|F)\cdot P(F) + P(A|\overline{F})\cdot P(\overline{F})\)

Das sind dann gerundet 46%.
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Die letzte Formel passt so nicht. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|F) und P(A|nicht(F)) hast du berechnet. Jetzt suchst du P(F|A).   ─   lernspass 15.11.2021 um 16:59
Du kannst doch nach dem Satz von Bayes P(F|A) ausdrücken. Da brauchst du im Nenner dann P(A). Den bekommst du mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.   ─   lernspass 15.11.2021 um 17:34
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Ich finde deinen Kommentar wirklich dreist. Hast du überhaupt schon Mal den Satz von Bayes und den der totalen Wahrscheinlichkeit nachgesehen? Ein bisschen Nachdenken und Nachschlagen sollte man als Student beherrschen, sonst wird das mit dem Studium nichts!
Und wenn du nur fertige Lösungen suchst, bist du hier falsch.   ─   lernspass 15.11.2021 um 18:08
Stell du die korrekte Formel auf und poste sie. Wir schauen drüber und sagen dir, ob das so richtig ist, oder weisen dich darauf hin, was du falsch gemacht hast.   ─   lernspass 15.11.2021 um 18:18
@anonymdb0f7 Ich hatte die Lösung auch noch nicht fertig, als ich angefangen hatte, mich mit der Aufgabe zu beschäftigen. Und hier im Forum (das gilt auch für mich) ist es auch nicht üblich, Lösungen grundsätzlich nicht zu verraten. Ich hatte auf einen eigenen Versuch von dir gehofft. Es geht meiner Meinung nach nicht nur darum, für eine Aufgabe die richtige Lösung zu kennen. Viel wichtiger ist es, zu lernen, wie man selber darauf kommt.   ─   lernspass 16.11.2021 um 10:44

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