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Hallo, 
es geht mir nur um Teilaufgabe (b).
mein Ansatz bislang: 
Für die hinrichtung, sei U offen und x aus U, so betrachtet man die Epsilonumgebung: 
UEpsilon (x) = [Alle y aus RR mit der Eigenschaft : |arctan x - arctan y| < epslion]
dann gilt schonmal, dass UEpsilon(x) eine Teilmenge von U ist. 

Ich denke mal, dass man zeigen kann, dass die Epislonumgebungen bzgl beider Metriken äquivalent sind, allerdings fehlt mir der Ansatz.
Jemand einen Tipp/Hinweis?
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Es gilt nicht einfach so $U_\epsilon(x)\subset U$. Aber wenn $U$ offen ist, gibt es zu jedem $x\in U$ so ein $\epsilon$, so dass $U_\epsilon(x)\subset U$. Mach Dir das gründlich klar, das Verständnis für das "für alle.... gibt es ...." ist hier entscheidend.
Zu zeigen ist für alle $x\in U$: Es gibt ein $\epsilon$ mit $U_\epsilon\subset U \iff$ es gibt ein $\epsilon2$ mit $U'_{\epsilon2}\subset U$.
Hierbei ist $U$ die Umgebung bez. der Metrik $d$, und $U'$ die für die Standardmetrik.
Der Schlüssel dazu ist, dass $\arctan$ eine Lipschitzfunktion auf ganz $R$ ist. Berechne zunächst mithilfe des MWS die (eine) Lipschitzkonstante $L$.
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