Hi hans,

zur Prüfung brauchst Du erstmal die Definition einer Äquivalenzrelation. Eine Relation R auf der Menge X ist Äquivalenzrelation, wenn sie

a) reflexiv ist, also x steht in Relation zu sich selbst

xRx für alle x ∈ X

b) symmetrisch, also xRy => yRx für alle x, y ∈ X.

Wenn x in Relation zu y steht, dann steht auch y in Relation zu x.

c) transitiv, also xRy ∧ yRz => xRz, für alle x, y, z ∈ X.

Wenn x in Relation zu y steht, und y zu z, dann muss auch x in Relation zu z stehen.

Prüfen wir das für Deine Aufgaben:

(i)

Ich nehme jetzt einmal an, dass mit ≡ "kongruent" und damit „deckungsgleich“ gemeint ist, also wenn l ≡ g, dass man durch Parallelverschiebung und Drehung von Gerade l zu Gerade g kommt.

a) Ist R reflexiv?

Die Frage ist, ist ein beliebiges Element aus der Menge L immer in Relation zu sich selbst. Also, ist eine beliebige Gerade aus L in Relation zu sich selbst. Die Relation R besteht ja, wenn zwei Geraden entweder parallel oder kongruent zueinander sind. Das gilt natürlich beides für l in Beziehung zu sich selbst. Jetzt muss man nur schreiben:

lRl für alle l ∈ L, da l || l und l ≡ l
R ist hier also reflexiv.

b) symmetrisch?

Jetzt betrachtet man zwei Elemente l, g ∈ L, von denen man voraussetzt, es gilt lRg, also l steht in Relation zu g, in dieser Reihenfolge. Man muss beweisen, dass dann auch gRl, in umgekehrter Reihenfolge gilt.

In dem Fall der Relation R ist es auch direkt ersichtlicht: Wenn lRg, dann ist l parallel zu g oder l ist kongruent zu g. Aber wenn l parallel zu g ist, ist g auch parallel zu l. Und wenn ich durch Verschieben und Drehen von l zu g komme, komme ich durch die gleichen Operationen auch wieder zurück.

Schreibe:

Sei lRg mit l, g ∈ L. Es gilt: l||g => g||l, und genauso l≡g => g≡l. Also gilt in jedem Fall gRl. Also ist R symmetrisch.

c) transitiv?

Jetzt setze ich wieder alles vor dem Pfeil voraus: Wir nehmen l, g, h ∈ L, und wir starten mit der Voraussetzung, dass jetzt schon gilt: lRg und gRh. Dann müssen wir jetzt zeigen, dass dann auch lRh gilt. Da es zwei verschiedene Bedingungen für R gibt, müssen alle Fälle überprüft werden.

Wenn l||g und g||h, dann ist natürlich auch l||h. Also für den Fall wäre es transitiv.

Bei der Kongruenz scheint es mir jetzt so, dass es eigentlich ein Selbstläufer ist, weil alle Geraden im R² kongruent zueinander sind. Ich kann ja jede Gerade so Verschieben und Drehen, dass sie dann auf der anderen liegt.

Also würde ich den Satz oben bereits weglassen und für den Beweis zur Transitivität nur schreiben:

Da alle Geraden im R² kongruent zueinander sind, gilt immer auch l ≡ h, daher gilt auch immer

lRg ∧ gRh => lRh

Zur nächsten Aufgabe:

(ii) Wenn es insgesamt keine Äquivalenzrelation ist, reicht ja aufzuzeigen, welche der drei Eigenschaften, reflexiv, symmetrisch oder transitiv, nicht gilt. Aber mit Worten kann ich es auch schnell für alle drei Eigenschaften erklären:

reflexiv? Steht jede Gerade aus L, also jede Gerade aus dem R² in Relation zu sich selbst? Hat Sie einen Schnittpunkt mit sich selbst?

Antwort: S ist reflexiv, weil lSl für alle l ∈ L: Eine Gerade hat mit sich selbst unendliche viele Schnittpunkte.

symmetrisch? Darf ich aus lSg automatisch gSl folgern?

Antwort: S ist symmetrisch, da lSg heißt, dass l und g einen Schnittpunkt haben, und da spielt die Reihenfolge schließlich keine Rolle. gSl gilt dann logischerweise auch.

transitiv? Wenn lSg und gSh gelten, gilt dann auch lSh?

S ist nicht transitiv. Dazu muss man sich kurz Gedanken machen, dann findet man schnell das Beispiel: Schneiden sich l und g, als lSg, und schneiden sich auch g und h, also gSh, dann müssen sich l und h nicht unbedingt schneiden (nicht lSh). Sie können ja auch parallel zueinander sein, und beide an anderer Stelle durch g schneiden. Also wenn Du ich das ungleich-Zeichen gerade einmal als grafische Darstellung von drei Gerade missbrauchen darf: ≠

Die obere und die untere sind parallel, aber beide Schneiden den Querstrich. Dieses Gegenbeispiel reicht aus, weil die Forderung bei Transitivität ja ist, für alle l, g, h aus L soll gelten, wenn lSg und gSh, dann auch lSh. Und hier gilt eben nicht lSh.

Was man für die Aufgabe eigentlich nur hinschreiben muss, ist dann:

Seien l, g, h ∈ L.

Gelte lSg und gSh. Sei aber l||h, dann gilt nicht lSh => S nicht transitiv => S nicht Äquivalenzrelation.

Vielleicht hilft Dir das ja schon weiter, und Du hast eine Idee, wie Du für die Dritte vorgehen musst?

LG, olli