Solange Du Dich an der Form der Buchstaben aufhälst, hast Du noch nicht klar, worum es geht. Als Ergänzung noch: $\bigcup {\cal M} := \bigcup\limits_{M\in \cal M} M$. Vielleicht klärt das einiges.
Du weißt schon, es sind zwei Richtungen zu zeigen. Schreib Dir jeweils auf, was ist gegeben, und was ist zu zeigen. Mach Dir in jedem einzelnen Schritt klar, wovon Du redest (von welchen Mengen? was sind deren Elemente?).
Dass man in der Vorlesung nicht alles versteht, ist normal. Ist ja keine Schule. An der Uni solltest Du lernen, Dir Teile des Stoffs selbstständig zu erarbeiten. Das ist ne Übungssache.