Isomorpgie zeigen

Aufrufe: 216     Aktiv: 02.07.2023 um 15:02

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Hallo zusammen!

Ich bräuchte etwas Hilfe bei der Teilaufgabe b). Meistens bieten sich die Hom.sätzte oder Iso.sätze an. Allerdigs wusste ich hier nicht wie man sie anwendet, da wir ein Kart. Produkt haben : (V/W) x V.
Also ist meine Idee schrittweise injektiv uns dann surjektiv zu zeigen.
Für injektivität gilt: kern= nur neutrale El. : (0,0) + ∆ -> (0+w,0). => Kern = (W x 0) ???

Verwirrend.. komme nicht mehr weiter. Bitte um Hilfe.  





Noch eine Idee: Ich versuche hier den Isosatz 2 anzuwenden. Die rechte schema hat geschietern, daher habe ich das ganze umgedret. Ich vermute, dass das möglich ist, da  ∆ eine UVR von VxV ist, und V ist VR, also abelsch, also alle UGR sind NT. Also ∆ ist ein NT und man kann diese Schema aufstellen. 

Liege ich richtig? Ist das die richtige Richtung?

EDIT vom 02.07.2023 um 11:07:

meine neue Rechnung :
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Die Abbildung \(\alpha: V \times V \to (V/W) \times V, (v_1,v_2)\mapsto (v_1+W,v_1-v_2)\) ist offensichtlich surjektiv und hat Kern \(\Delta\) (beide Rechnungen ist ein Einzeiler, wenn du Hilfe brauchst sag Bescheid). Es folgt aus universelle Eigenschaft von Quotienten die Aussage (vielleicht Homomorphiesatz oder Iso.Satz 1
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Übrigens es folgt aus der Sache, dass \(\Delta\) ein Kern ist, die Aufgabe (a)   ─   mathejean 30.06.2023 um 16:18

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Surjektiv: Sei \((v_1+W,v_2)\in (V/W)\times V\), dann ist \(\alpha(v_1, v_1- v_2)=(v_1+W,v_2)\)   ─   mathejean 02.07.2023 um 12:41

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Bei Kern ist deine linke Seite bis auf die letzte Implikation richtig, also es folgt wie du sagst \(v_1=v_2\) und \(v_1\in W\) (aber nicht v_1=0), also ist es in Delta

Bei der rechten Seite es ist alles richtig, es fehlt noch: \(v_1+W=0+W=0\), dies gilt da \(v_1 \in W\)
  ─   mathejean 02.07.2023 um 12:45

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In welcher Inklusion? Vielleicht ist es so auch übersichtlicher: \((v_1,v_2)\in \ker \alpha \Leftrightarrow v_1+W=0+W, v_1-v_2=0 \Leftrightarrow v_1\in W, v_1=v_2 \Leftrightarrow (v_1,v_2) \in \Delta\)   ─   mathejean 02.07.2023 um 14:49

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Okay, rechts gilt weil es aus Delta ist und es dort geregelt ist. Links gilt es weil \(v_1+W=0\), also \(v_1\in \ker (V\twoheadrightarrow V/W)=W\). Alternativ kann man sich die Konstruktion eines Modells des Quotienten \(V\twoheadrightarrow V/W\) anschauen, z.B. mit Äquivalenzklassen   ─   mathejean 02.07.2023 um 15:00

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