Hallo,
die zweite Ableitung ist
\( p''(t) = - \frac {(\frac {p_{\infty}} {p_0} - 1) \lambda^2 p_{\infty} e^{\lambda t}(e^{\lambda t } - \frac {p_{\infty} } {p_0} +1) } {(e^{\lambda t} + \frac {p_{\infty}} {p_0} -1)^3} \)
Daraus ergibt sich, dass \( p''(t) = 0 \) nur gelten kann, wenn \( e^{\lambda t} - \frac {p_{\infty}} {p_0} +1 = 0 \) gilt.
Lösen wir das ganze nach \( t \) auf, so erhalten wir
\( t = \frac {\ln(\frac {p_{\infty}} {p_0} -1)} {\lambda} \)
Durch den Definitionsberech des Logartihmus, erhalten wir folgende Ungleichung
\( \frac {p_{\infty}} {p_0} -1 > 0 \\ \Rightarrow p_{\infty} > p_0 \)
Ich komme leider nicht auf deine Ungleichung, aber ich denke das es dieser Weg sein soll.
Ich werde es nochmal durch gehen und gucken wo der Fehler liegt, aber mit der Struktur kannst du ja auch schon mal überlegen, ob du meinen Denkfehler findest.
Grüße Christian
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Ah ich habe meinen "Fehler" gefunden.
Es gilt \( t \geq 0 \).
Da wir in \( t=0 \) starten, muss für unseren Wendepunkt gelten
\( t_W > 0 \)
Damit erhalten wir die Gleichung
\( \ln( \frac {p_{\infty}} {p_0} -1 ) > 0 \), da \( \lambda > 0 \)
Der Logarithmus hat seine Nullstelle bei \( t=1 \), also erhalten wir insgesamt
\( \frac {p_{\infty}} {p_0} -1 > 1 \Rightarrow \frac {p_{\infty}} {p_0} > 2 \\ \Rightarrow \frac {p_{\infty}} 2 > p_0 \)
─ christian_strack 25.02.2019 um 14:19