Moin,
freut mich, dass jemand mal etwas zur Zahlentheorie ins Forum bringt. Ich würde bei dieser Aufgabe mit der zu zeigenden Kondition anfangen: \(m^c \equiv m \text{(mod n)} \). Von da aus kann man die Definition der Kongruenz anwenden: \(n|m^c-m\). Jetzt kann man auf der rechten Seite ein m ausklammern und in zwei Fälle unterscheiden: entweder n|m oder \(n|m^{c-1}-1\). Es gilt also: solange m kein vielfaches von m ist, bzw der ggT von n und m 1 ist, gilt der zweite Fall. Für den zweiten Fall kann man nun erneut die Definition der Kongruenz anwenden um \(m^{c-1}\equiv 1 \)(mod n) zu erhalten. Dabei fällt einem auf, dass diese Bedingung immer gilt, wenn sie dem Satz von Euler entspricht mit. \(a^{\phi(n)}\equiv1\) (mod n), mit ggT(a,n)=1. Es fällt auf, dass der Fall für ggT(m,n) \(\neq\) 1 bereits durch den ersten Fall mit n|m abgedeckt ist. Jetzt muss nur noch gelten: \(c-1=\phi(n)\) Durch anwenden der Rechenregeln mit der Eulerschen Phi-Funktion ergibt sich: \(c-1=\phi(p)\phi(q) = (p-1)(q-1)\). Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass c-1=(p-1)(q-1). Dafür können wir die gegebene Bedingung \(c \equiv 1\) (mod r) verwenden, oder \(rc-1\). Über die Definition von r kommt man relativ simpel zum gesuchten Ergebnis. 
Ich wüsste außerdem gerne, woher du die Aufgabe genommen hast, da es relativ schwierig ist an gute Zahlentheorie Aufgaben heranzukommen.
LG
Fix