Grenzwertberechnung mit Fallunterscheidung (?)

Aufrufe: 1745     Aktiv: 12.03.2020 um 14:57
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Hey,

ich habe folgende Aufgabe:

\(\lim _{n \to  \infty} (\frac{5x+1}{x^2+5})^{2n+1}\)

 

und möchte hier den bekannten Grenzwert \( \lim _{n \to \infty} x^n\) anwenden. Da habe ich ja auch 4 Fälle die eintreten können, um dann einen entsprechenden Grenzwert raus zubekommen. Leider hänge ich etwas und  habe auch Probleme mein x für den Fall \(|x| < 1\) zu bestimmen.

Hier meine bisherige Herangehensweise:

Etwas Hilfe bei dieser Aufgabe wäre echt super.

 

Ich danke euch im Voraus!

 

jkkkkkk

 

 

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Der erste Fall sieht gut aus.

Im zweiten Fall ist leider ein Fehler: Wenn du beim Schritt \(\frac94>\left(x-\frac52\right)^2\) angekommen bist, kannst du nicht einfach nur die positive Wurzel ziehen. Richtig wäre \(\frac32>\pm\left(x-\frac52\right)\Longrightarrow 1<x<4.\)

Beim dritten Fall ist leider schon die Fallbezeichnung falsch, es sollte \(|x|<1\) oder \(-1<x<1\) heißen. (Sonst würde sich ja auch der dritte mit dem vierten Fall überschneiden.) Dieser Fall ist ein bisschen umständlich auszurechnen, am besten bestimmst du zuerst alle anderen Fälle, in diesem Fall muss dann alles liegen, was übrig bleibt.

Beim vierten Fall ist das gleiche Problem wie beim zweiten Fall, es sollte \(\pm\left(x+\frac52\right)\leq\frac12\) sein.

Ich hoffe, das hilft dir weiter. Wenn du noch Fragen hast, stell sie gerne.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Okay ich verstehe wo ich meine Fehler gemacht habe, danke dafür schon mal!
Also muss ich im Endeffekt beim Wurzelziehen immer die Betragsstriche setzen, sofern mein x nicht wirklich als positiver Wert markiert ist oder?

An sich kann ich ja dann schreiben: 3/2 > |s-5/2| und das ist ja gleichzusetzen mit -3/2 < x-5/2 < 3/2 und dann nur nach x auflösen und ich habe das gleiche Ergebnis wie du da stehen.   ─   anonym4fb50 11.03.2020 um 15:50
Ja, das geht natürlich auch, das ist im Prinzip das Gleiche.   ─   sterecht 11.03.2020 um 15:52
Perfekt! Dann habe ich es verstanden. Vielen lieben dank!   ─   anonym4fb50 11.03.2020 um 15:53
Sehr gern.   ─   sterecht 11.03.2020 um 15:56
Eine kleine Frage hätte ich noch zur finalen Schreibweise. Ich habe jetzt die 3 "einfachen" Fälle berechnet und weiß für welche x meine Grenzwerte eintreffen. Kann bzw. darf ich dann einfach beim letzten Fall |x| < 1 durch einfachen Hingucken den letzten zu definierenden Bereich aufschreiben?
Bei mir kamen jetzt folgende Grenzwerte raus: 1 für x=1 oder x=4, unendlich für x in (1,4), unb. div. für x in[-3,-2] und dann 0 für x in(-unendlich, -3) und (4, unendlich).   ─   anonym4fb50 12.03.2020 um 14:03
Im Intervall \((-2,1)\) ist der Grenzwert ebenfalls 0, den Bereich hast du übersehen. Aber vom Prinzip ja, alles was nicht in den anderen drei Fällen liegt, muss in diesem Fall sein. Sonst ist alles richtig.   ─   sterecht 12.03.2020 um 14:57

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