Kondition einer regulären Matrix abschätzen

Aufrufe: 104     Aktiv: 07.03.2022 um 16:00

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Hey :)

ich würde gerne folgenden Abschätzung beweisen, aber weiß nicht so recht wie.

Also $A$ ist eine reguläre $nxn$ Matrix. Die Matrix hat die LR-Zerlegung $PA=LR$ 

Ich soll zeigen:

$$cond(A)_{2}=cond(PA)_{2}\leq cond(L)_{2} \cdot cond(R)_{2}$$

Ich nehme an ich muss ausnutzen, dass
$$ \|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$$

Ich versuche gerade aber noch zu verstehen warum überhaupt gilt

$$cond(A)_{2}=cond(PA)_{2}$$ 
Denn das ist ja $\|A\| \cdot \|A^{-1}\|=\|PA\| \cdot \|(PA)^{-1}\|$

Also alles bezüglich der Spektralnorm. Das P ist ja eine Permutationsmatrix auf Grund der Pivotisierung. Aber eigentlich ändert ein Zeilentausch, doch die Eigenwerte. Also müsste doch auch eine andere Spektralnorm rauskommen, oder?

 

Angenommen ich verstehe nun, warum das gilt dann würde ich, so weiter machen

$$cond(PA)=cond(LR)=\|LR\| \cdot \|(LR)^{-1}\| \leq ||L||  \cdot ||R||  \cdot ||LR||^{-1}$$
Ich glaube ich kann Inverse und Norm tauschen, da die Matrix regulär ist und somit die cond(A) mindestens größer oder gleich 1. 


Ist das der richtige Weg?

EDIT vom 06.03.2022 um 19:29:

EDIT: 

Wenn ich $||PA||$ abschätze bekomme ich folgendes $$||PA|| \leq ||P|| \cdot ||A|| = ||A||$$

da $||P||=1$ in der Spektralnorm ist.

Wenn ich $||P^{-1}PA||$ abschätze bekomme ich $$||P^{-1}PA||\leq |||P^{-1}|| \cdot ||PA||=|||P^{-1}|| \cdot ||A||$$
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EDIT 2:

Es muss in der letzten Zeile stehen $$||P^{-1}|| \cdot ||PA|| \leq ||P^{-1}|| \cdot ||P|| \cdot ||A||$$

und sowohl $||P^{-1}|| $ als auch $||P|| $ sind ja in der 2-Norm beide $1$

Also würde insgesamt folgen

$$ ||P^{-1}PA|| \leq ||A||$$ und
$$||PA|| \leq ||A||$$

oder?
  ─   walterfrosch 07.03.2022 um 14:42

Okay, also folgendes?

Es gilt $$||A||=||P^{-1}PA||\leq |||P^{-1}|| \cdot ||PA||=|||PA||$$
und
$$||PA|| \leq ||P|| \cdot ||A||=||A||$$

Das heißt es gilt $||PA||\geq||A||$ und $||PA||\leq||A||$ das heißt beide müssen gleich sein?

Ich hoffe ich habs jetzt nicht noch schlimmer gemacht..
  ─   walterfrosch 07.03.2022 um 15:01
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1 Antwort
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$cond(A)=cond(PA)$: Beachte $\|P\|=1$ für alle Permutationsmatrizen in der Spektralnorm und schätze einmal $\|PA\|$ und einmal $\|P^{-1}PA\|$ ab.
Der Rest: Beachte $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, falls $A,B$ regulär.

Noch zu Deinem Versuch: Nicht mit "glauben" arbeiten, sondern mit Nachweisen.
Es gilt für reguläres $A$ stets, $\|A\|^{-1}\le \|A^{-1}\|$ für alle Normen, d.h. Deine letzte Abschätzung ist i.Allg. falsch.
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Ich muss leider nochmal nachfragen, ich verstehe nicht so ganz, was ich mit der Abschätzung machen soll. Wogegen soll ich die beiden abschätzen? Habe jetzt beides nach unten unten und oben gegen ||A|| abgeschätzt. Also ||P-{-1}PA|| ist ja sowieso ||A||. Das sollte ich wohl anders abschätzen. Bin aber noch ratlos, sorry.


Ich dachte ich müsste vielleicht die cond(PA) nach oben und unten gegen cond(A) abschätzen. Das habe ich auch gemacht, könnte ich vielleicht dasselbe mit ||(PA)^{-1}|| machen?

Und danke für die Korrektur, meiner Rechenfehler.
  ─   walterfrosch 06.03.2022 um 18:19

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Es gibt bei Matrix-Normen nur eine Abschätzung für das Produkt, die steht schon in Deiner Frage ("....ich muss ausnutzen, dass...") und die geht nur nach oben. Wende die an, s. erster Satz meiner Antwort. Was erhälst Du?   ─   mikn 06.03.2022 um 18:56

Ich habe meine Abschätzung in meine Frage als Edit eingefügt, damit Du sie vernünftig lesen kannst. Ich verstehe nicht ganz, wie ich mit einer Abschätzung eine Gleichheit zeigen kann...   ─   walterfrosch 06.03.2022 um 19:30

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Die letzte Zeile stimmt nicht, da hast Du $\|P A\|=\|A\|$ benutzt, das wissen wir ja noch nicht (genauer: das wollen wir ja noch zeigen). Und was ist $\|P^{-1}\|$? Was wissen wir über die 2-Norm von Permutationsmatrizen?   ─   mikn 06.03.2022 um 19:42

Ich habe auf die von dir angesprochene Zeile geschlossen, da doch gilt ||P|| in der 2-Norm. Also müsste doch ||P||•||A||=1•||A||

Ich komme nicht richtig weiter, weil ich nicht weiß, was das Ziel ist. Also was ich, mit der Abschätzung erreichen will. Ich kann damit ja nur nach oben abschätzen, und zeige so ja keine Gleichheit.

Und ||P^-1|| ist ebenfalls 1 in der 2-Norm. Also gilt 0

Also kann ich beide von dir vorgeschlagen Ausdrücke nach ||P||•||A|| abschätzen?
  ─   walterfrosch 07.03.2022 um 09:40

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Ich hab Dir im vorigen Kommentar genau gesagt, was falsch ist. Auch was das Ziel ist. Lies genau. Korrigiere das erstmal, dann wirst Du vermutlich weiterkommen.
Und was soll "also gilt 0" sein?
  ─   mikn 07.03.2022 um 13:12

Sorry, das "also gilt 0" gehört da nicht hin und kann ignoriert werden. Also das Ziel ist ||PA||=||A|| zu zeigen, angenommen ich hätte das müsste ich dann auch noch ||(PA)^-1||=||A^-1|| zeigen?
Du hast natürlich recht. Die letzte Zeile ist falsch, da darf kein gleich hin, sondern da muss ein kleiner gleich hin. Ich editiere es noch einmal.
  ─   walterfrosch 07.03.2022 um 14:36

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Lass das mal mit dem "angenommen". Arbeite Schritt für Schritt.
Zu der letzten Zeile (in Edit1): Das $\le$ bringt uns nichts. Lass die letzte Umformung/Abschätzung (die falsche) weg und schau den Rest an. Zusammen mit der Ungleichung dadrüber. Es steht eigentlich alles da. Jede benötige Ungleichung/Gleichung, wirklich jede, steht schon in Deinem Edit oben und hier in den Kommentaren (in Deinen!).
PS: Dein neuer Edit bringt nichts neues (dass $\|A\|\le \|A\|$ ist, dafür brauchen wir keine große Rechnung).
  ─   mikn 07.03.2022 um 14:44

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Alles prima, genauso ist es richtig. Damit unsere gewünschte Aussage für die Kondition gilt, brauchen wir nun noch eine analoge Aussage für die Inverse (das ist der Teil, den Du oben mit "angenommen... müsste..." formuliert hast). Das sollte jetzt nicht schwer sein.... oder?   ─   mikn 07.03.2022 um 15:09

Nein, das bekomme ich hin. Oh man, ich danke dir. Ich weiß nicht, wieso ich das nicht sehen wollte.   ─   walterfrosch 07.03.2022 um 15:51

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Gut, freut mich.   ─   mikn 07.03.2022 um 16:00

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