Das stimmt nicht ganz, du musst nach $x$ und nicht nach $\xi$ ableiten. Ich weiß nicht, was $S^m(U \times \mathbb{R}^n)$ ist, aber ich gehe davon aus, dass das irgendwas mit Glattheit und Integrierbarkeit/Verhalten um Unendlichen zu tun hat, so dass wir eben unter dem Integral differenzieren können. Das geht für mich so aus dem Zusammenhang heraus, da alle Ableitungen in $x$ von diesen Funktionen irgendeine Wachstumsschranke haben.

In diesem Fall berechnen wir

\begin{align*} & \partial_{x_i} \int_{\mathbb{R}^n} a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x} \hat{\varphi}(\xi) d\xi = \int_{\mathbb{R}^n} \partial_{x_i} \big( a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x} \hat{\varphi}(\xi) \big)d\xi  \\ &= \int_{\mathbb{R}^n}\big( \partial_{x_i}  a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x}- i\xi_i e^{-i \xi \cdot x}a(x,\xi) \big)  \hat{\varphi}(\xi) d\xi  \\ & \int_{\mathbb{R}^n}\partial_{x_i}  a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x} \hat{\varphi}(\xi) d\xi  - \int_{\mathbb{R}^n}i \xi a(x, \xi) \hat{\varphi}(\xi) d\xi \end{align*}

Den ersten Term kannst du durch das Wachstumsverhalten von $\partial_{x_i}a(x,\xi)$ kontrollieren, das muss irgendwie in der Definiten von $S^m(U \times \mathbb{R}^n)$ stecken. Du weißt, dass $\hat{\varphi} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, da die Fouriertransformierte eine Bijektion auf $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ und somit fällt $\hat{\varphi}$ schneller als jedes Polynom. Inbesonder schneller, als wie $a(x, \xi)$ nach Vorraussetzung steigen kann.   

Den zweiten Term kannst du mit ähnlichen Argumenten kontrollieren. Du weißt aus dem Lemma(?), dass $\xi_i \hat{\varphi}(\xi)=\widehat{\partial_{x_i} \varphi({\xi})}$, was wiederum eine Funktion in $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ist.

Ingesamt sind damit alle Ausdrücke endlich und wir dürfen somit unter dem Integral differenzieren. Die Stetigkeit davon folgt dann (vermutlich) ebenfalls aus dem Satz für Parameterintegrale, aber dafür müsste man $S^m(U \times \mathbb{R}^n)$ kennen. Ich gehe aber stark davon aus, dass diese Definition eben die Voraussetungen für diesen Satz abdeckt.