Glattheit von pseudodifferentialen Operator

Aufrufe: 82     Aktiv: 25.04.2024 um 15:09

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Hallo zusammen, 
ich versuche den Beweis von dem unteren Satz zu verstehen. Mir ist nicht klar was hier abgeleitet wird - Op(a) oder phi oder die Funktion e?

14.17 ist die Definition von Op(a)

und 11.11:


ich möchte probieren das Ableiten im Integral ausführlich zu notieren, das ist mein Ansatz:

Aber das macht nicht so viel Sinn... 

 

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Das stimmt nicht ganz, du musst nach $x$ und nicht nach $\xi$ ableiten. Ich weiß nicht, was $S^m(U \times \mathbb{R}^n)$ ist, aber ich gehe davon aus, dass das irgendwas mit Glattheit und Integrierbarkeit/Verhalten um Unendlichen zu tun hat, so dass wir eben unter dem Integral differenzieren können. Das geht für mich so aus dem Zusammenhang heraus, da alle Ableitungen in $x$ von diesen Funktionen irgendeine Wachstumsschranke haben.

In diesem Fall berechnen wir

\begin{align*} & \partial_{x_i} \int_{\mathbb{R}^n} a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x} \hat{\varphi}(\xi) d\xi = \int_{\mathbb{R}^n} \partial_{x_i} \big( a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x} \hat{\varphi}(\xi) \big)d\xi  \\ &= \int_{\mathbb{R}^n}\big( \partial_{x_i}  a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x}- i\xi_i e^{-i \xi \cdot x}a(x,\xi) \big)  \hat{\varphi}(\xi) d\xi  \\ & \int_{\mathbb{R}^n}\partial_{x_i}  a(x,\xi) e^{-i \xi \cdot x} \hat{\varphi}(\xi) d\xi  - \int_{\mathbb{R}^n}i \xi a(x, \xi) \hat{\varphi}(\xi) d\xi \end{align*}

Den ersten Term kannst du durch das Wachstumsverhalten von $\partial_{x_i}a(x,\xi)$ kontrollieren, das muss irgendwie in der Definiten von $S^m(U \times \mathbb{R}^n)$ stecken. Du weißt, dass $\hat{\varphi} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, da die Fouriertransformierte eine Bijektion auf $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ und somit fällt $\hat{\varphi}$ schneller als jedes Polynom. Inbesonder schneller, als wie $a(x, \xi)$ nach Vorraussetzung steigen kann.   

Den zweiten Term kannst du mit ähnlichen Argumenten kontrollieren. Du weißt aus dem Lemma(?), dass $\xi_i \hat{\varphi}(\xi)=\widehat{\partial_{x_i} \varphi({\xi})}$, was wiederum eine Funktion in $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ist.

Ingesamt sind damit alle Ausdrücke endlich und wir dürfen somit unter dem Integral differenzieren. Die Stetigkeit davon folgt dann (vermutlich) ebenfalls aus dem Satz für Parameterintegrale, aber dafür müsste man $S^m(U \times \mathbb{R}^n)$ kennen. Ich gehe aber stark davon aus, dass diese Definition eben die Voraussetungen für diesen Satz abdeckt.

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Ja, die Glattheit folgt daraus. Check mal die Resultate von dieser Seite hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral Die Stetigkeit des Integral Ausdrucks folgt aus der Stetigkeit/Messbarkeit der Integranden.

Den Satz, dass das die Fouriertransformierte einer $L^1$ Funktion bereits stetig sein muss, greift hier leider nicht ganz, da du noch diesen Zusatzfaktor $a(x,\xi)$, der inbesondere $x$ beinhaltet. Bestimmt kann man das den Beweis modifizieren, aber ich würde das hier nicht machen.

Dass die FT als Operator zwischen irgendwelchen $L^p$ (p=1,2) stetig sein muss, hat damit nichts zu tun.
  ─   crystalmath 25.04.2024 um 15:09

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