Die Firma Müller stellt Autoteile her. In der Produktion, Verpackung und Lieferung eines Teiles geht dieses zufällig und unabhängig von anderen Teilen mit der Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) kaputt. Betrachten Sie für eine Lieferung von n ∈ N Teilen die folgenden unabhängigen Zufallsvariablen, für alle i ∈ N mit 1 ≤ i ≤ n, Xi = ( 1 falls Teil i kaputt, 0 sonst

a) Welche Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der kaputten Teile in der Lieferung von n Teilen?

b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Wie ist X für große n approximativ verteilt?

c) Ein Kunde bestellt n = 1000 Teile (nehmen Sie n = 1000 als groß an und verwenden Sie b)). Außerdem sei die Defektwahrscheinlichkeit als p = 0.1 gegeben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in der Lieferung mehr als 950 Teile intakt? Führen Sie in dieser Berechnung die Standardisierung der Verteilung von X durch!

d) Ein anderer, sehr wichtiger und auch sehr schnell verärgerter Kunde, benötigt unbedingt 1000 funktionstüchtige Teile. Wie viele Teile müssen Sie diesem Kunden mindestens schicken, so dass dieser mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% seine benötigten Teile erhält?