Wenn du Probleme mit verschachtelten Mengen hast, versuche, dir eine Menge als Sack vorzustellen, indem die Elemente der Menge sind. Dann ist die Menge \(A\) ein Sack, der einen leeren Sack enthält. \(B\) ist ein Sack, der den Sack \(A\) enthält und zusätzlich noch einen Sack, der einen leeren Sack enthält. Und \(C\) enthält einen leeren Sack und einen Sack, in dem \(A\) ist.

1a) \(B\) enthält keinen "leeren Sack", sondern nur Säcke, die leere Säcke enthalten. Oder formaler: Das einzige Element von \(B\) ist \(\{\emptyset\}\neq\emptyset\). Folglich ist diese Aussage falsch.

1b) Diese Aussage stimmt, denn die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge.

1c) Das stimmt auch, denn \(\emptyset\in C\), folglich ist jedes Element in \(A\) auch in \(C\)

1d) Das ist wie bei der a) falsch. C enthält nur das Element \(\{A\}\), aber nicht \(A\) selbst.

2) Berechnen wir zuerst die Vereinigungsmenge:

$$B\cup C=\{A,\{\emptyset\},\{A\},\emptyset\}\overset{\text{Def. von }A}=\{\{\emptyset\},\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\emptyset\}\overset{\text{Dopplungen entfernen}}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\}\}.$$ Also hat die Vereinigungsmenge drei Elemente. Es macht einen Unterschied, ob um die leere Menge nochmal Mengenklammern sind, denn eine Menge, die die leere Menge enthält, ist etwas anderes wie die leere Menge selbst. Wenn du das beachtest, siehst du, dass es kein einziges Element gibt, dass sowohl in \(B\) als auch in \(C\) liegt, folglich ist die Schnittmenge der beiden leer.

Ich hoffe, das klärt deine Frgen. Ansonsten kannst du dich gern nochmal melden.