Gruppen - Neutrales Element

Aufrufe: 221     Aktiv: 27.01.2024 um 15:24

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Hi !

Kurze Frage,
angenommen ich möchte zeigen, dass (M, +) eine Gruppe ist und es liegt keine Kommutativität vor,
ich gehe die Eigenschaften durch:
-Es herrscht Abgeschlossenheit
-Assoziativität ist gegeben
-Das neutrale Element ist nur linksneutral
-Ich finde Inverse zu jedem Element

Handelt es sich obwohl das neutrale Element nur linksneutral ist um eine Gruppe?
Ich denke nicht oder ?

Und genauso um die Eigenschaft eines Inversen zu erfüllen muss ja gelten,
für alle "a" aus M gibt es ein "b" aus M : a + b = n = b + a (n := neutral) also ebenso beidseitig.
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1 Antwort
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Moin,

tatsächlich ist die scheinbar schwächere Forderung eines linksneutralen Elements genauso stark wie ein (links- und rechts) neutrales Element. Das heißt es gilt: $$\exists e\in G \text{ s.t. } \forall g\in G: e\cdot g=g \\ \iff \\ \exists e\in G \text{ s.t. } \forall g\in G: e\cdot g=g \land g \cdot e = g$$

Der Beweis davon ist entweder eine schnelle Übung oder du siehst hier nach. Um also auf die ursprüngliche Frage zurückzukommen: Es genügt zu zeigen, dass ein Linksneutrales Element existiert.

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Hat mir sehr weitergeholfen.
  ─   user80b9ee 27.01.2024 um 15:24

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