Das ist ein Druckfehler. Man erweitert mit \( n^2+n \sqrt[3]{n^3+n}+ \sqrt[3]{(n^3+n)^2} \), also sollte es heißen \( \frac{n(n-\sqrt[3]{n^3+n})(n^2+n \sqrt[3]{n^3+n}+ \sqrt[3]{(n^3+n)^2})}{n^2+n \sqrt[3]{n^3+n}+ \sqrt[3]{(n^3+n)^2}} \).
Und dann wurde im Zähler die verallgemeinerte dritte binomische Formel \( (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \) verwendet.

Da ist ein Tippfehler in der Lösung. Das sieht man aber erst, nachdem Du die ganze Rechnung gepostet hast. Daher immer(!) den ganzen Zusammenhang posten, damit wir schneller helfen können. Außerdem steht da nur, dass die Limes gleich sind - theoretisch könnten noch weitere Umformungen drin sein (sind aber nicht).
Schau Dir an, womit erweitert wird - das steht im Nenner des großen Bruchs. Im Zähler steht aber etwas leicht anderes (falsches), da steht eine Klammer falsch, die gehört ans Ende des Zählers. Wenn das repariert ist, fällt der Zähler auch komplett auf -n^2 zusammen.

Ich finde die Musterlösung ziemlich kompliziert. Ein einfacherer Weg ist mit der Regel von l'Hospital:
$\sqrt{n^2+n}-\sqrt[3]{n^3+n}=n(\sqrt{1+\frac1{n^2}}-\sqrt[3]{1+\frac1{n^2}})$ Damit ist:
$\lim\limits_{n\to\infty} n(\sqrt{n^2+n}-\sqrt[3]{n^3+n})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac1{n^2}}-\sqrt[3]{1+\frac1{n^2}}}{\frac1{n^2}} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt[3]{1+x}}{x}= [\frac00] .... = \frac16$.
Man kann auch anstelle $x=\frac1{n^2}$ mit $\frac1{x^2}$ und $\lim\limits_{x\to\infty}$ weiterrechnen, ist aber etwas unübersichtlicher und rechenfehleranfälliger.

Die bekommst du nicht weg, die Gleichung ist falsch.
Hast du da irgendwas in der Aufgabenstellung durcheinandergebracht? Die rechte Seite lässt sich ja auch noch zu \(-n^2\) vereinfachen.