Kubikwurzel erweitern und kürzen?

Aufrufe: 574     Aktiv: 17.10.2021 um 22:57

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Hallo, 
ich hänge bei der Aufgabe:


mein Versuch war erst das n in die erste Klammer zu multiplizieren und dann:



Jedoch weiß ich nicht wie ich die dritte Wurzel nun weg bekomme. Das Ergebnis scheint sehr nah...

EDIT vom 17.10.2021 um 21:45:

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Das ist ein Druckfehler. Man erweitert mit \( n^2+n \sqrt[3]{n^3+n}+ \sqrt[3]{(n^3+n)^2} \), also sollte es heißen \( \frac{n(n-\sqrt[3]{n^3+n})(n^2+n \sqrt[3]{n^3+n}+ \sqrt[3]{(n^3+n)^2})}{n^2+n \sqrt[3]{n^3+n}+ \sqrt[3]{(n^3+n)^2}} \).
Und dann wurde im Zähler die verallgemeinerte dritte binomische Formel \( (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \) verwendet.
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Das stimmt. Um die Lösung zu verstehen, braucht man die Formel nicht. Wenn man die Aufgabe jedoch selbst lösen will, dann muss man ja wissen, womit man erweitern soll. Und spätestens dann ist es gut, wenn man die Formel kennt.   ─   42 17.10.2021 um 22:29

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Da ist ein Tippfehler in der Lösung. Das sieht man aber erst, nachdem Du die ganze Rechnung gepostet hast. Daher immer(!) den ganzen Zusammenhang posten, damit wir schneller helfen können. Außerdem steht da nur, dass die Limes gleich sind - theoretisch könnten noch weitere Umformungen drin sein (sind aber nicht).
Schau Dir an, womit erweitert wird - das steht im Nenner des großen Bruchs. Im Zähler steht aber etwas leicht anderes (falsches), da steht eine Klammer falsch, die gehört ans Ende des Zählers. Wenn das repariert ist, fällt der Zähler auch komplett auf -n^2 zusammen.
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Ich finde die Musterlösung ziemlich kompliziert. Ein einfacherer Weg ist mit der Regel von l'Hospital:
$\sqrt{n^2+n}-\sqrt[3]{n^3+n}=n(\sqrt{1+\frac1{n^2}}-\sqrt[3]{1+\frac1{n^2}})$ Damit ist:
$\lim\limits_{n\to\infty} n(\sqrt{n^2+n}-\sqrt[3]{n^3+n})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac1{n^2}}-\sqrt[3]{1+\frac1{n^2}}}{\frac1{n^2}} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt[3]{1+x}}{x}= [\frac00] .... = \frac16$.
Man kann auch anstelle $x=\frac1{n^2}$ mit $\frac1{x^2}$ und $\lim\limits_{x\to\infty}$ weiterrechnen, ist aber etwas unübersichtlicher und rechenfehleranfälliger.
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Die bekommst du nicht weg, die Gleichung ist falsch.
Hast du da irgendwas in der Aufgabenstellung durcheinandergebracht? Die rechte Seite lässt sich ja auch noch zu \(-n^2\) vereinfachen.
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Ja die Aufgabe ist etwas länger, Jedoch wurde ja zwischen den beiden roten Kästen nichts mehr erweitert oder aufgeteilt. Lediglich der Zähler vereinfacht oder nicht   ─   alexkrammer 17.10.2021 um 21:45

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