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Hallo,
beim ersten Bild ist das zweite Häckchen falsch. Überlege dir dafür mal ein Gegenbeispiel mit einer Abbildung von \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \).
Das vierte Häckchen ist auch falsch. Das würde nur gelten, wenn \( k = f^{-1} \) ist. Auch hier kann man das sich vielleicht am Besten mit bekannten Funktionen aus der Analysis klarmachen.
Beim zweiten Bild, steht \( \mathcal{P} \) für den Raum der Polynome? Dann würde es stimmen :)
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Hallo,
beim ersten Bild hinsichtlich des zweiten Häkchens wäre ein Beispiel f(x)=3x+5, stimmt.
Bei dem vierten Häkchen bin ich mir nicht mehr sicher, wie idV zu intepretieren ist. Wenn ich z.B. habe die Komposition von 3x+5 o 3x = 3(3x)+5 = 9x+5=idV. Was heißt das jetzt?
Lg
─ kamil 19.06.2020 um 14:11
beim ersten Bild hinsichtlich des zweiten Häkchens wäre ein Beispiel f(x)=3x+5, stimmt.
Bei dem vierten Häkchen bin ich mir nicht mehr sicher, wie idV zu intepretieren ist. Wenn ich z.B. habe die Komposition von 3x+5 o 3x = 3(3x)+5 = 9x+5=idV. Was heißt das jetzt?
Lg
─ kamil 19.06.2020 um 14:11
\( f(x) = 3x + 5 \) ist zwar eine sogenannte lineare Funktion aber keine lineare Abbildung hinsichtlich der linearen Algebra.
Für eine lineare Abbildung muss eben genau das gelten was die erste Auswahlmöglichkeit ist.
Beweis das es keine lineare Abbildung ist:
$$ \begin{array}{ccccc} f(x+y) & = & 3(x+y) + 5 \\ & = & 3x + 3y + 5 \\ & = & 3x+5 + 3y \\ & \neq & (3x+5) + (3y+5) \\ & = & f(x) + f(y) \end{array} $$
Und somit hast du da ein Beispiel. Das Inverse einer linearen Funktion ist eine lineare Funktion die aber nicht zwangsweise eine lineare Abbildung ist.
Hinsichtlich der linearen Algebra ist eine lineare Funktion genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie durch den Ursprung geht. Alle anderen linearen Funktionen (Gerade) nennt man affine lineare Abbildung.
Mit \( id_V \) ist die Identitätsabbildung gemeint. Das ist die Funktion für die gilt
$$ \begin{array}{c} V \to V \\ id_V: x \mapsto x \end{array} $$
also jeder Vektor wird auf sich selbst abgebildet. Als Matrix wäre das die Einheitsmatrix. ─ christian_strack 19.06.2020 um 14:26
Für eine lineare Abbildung muss eben genau das gelten was die erste Auswahlmöglichkeit ist.
Beweis das es keine lineare Abbildung ist:
$$ \begin{array}{ccccc} f(x+y) & = & 3(x+y) + 5 \\ & = & 3x + 3y + 5 \\ & = & 3x+5 + 3y \\ & \neq & (3x+5) + (3y+5) \\ & = & f(x) + f(y) \end{array} $$
Und somit hast du da ein Beispiel. Das Inverse einer linearen Funktion ist eine lineare Funktion die aber nicht zwangsweise eine lineare Abbildung ist.
Hinsichtlich der linearen Algebra ist eine lineare Funktion genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie durch den Ursprung geht. Alle anderen linearen Funktionen (Gerade) nennt man affine lineare Abbildung.
Mit \( id_V \) ist die Identitätsabbildung gemeint. Das ist die Funktion für die gilt
$$ \begin{array}{c} V \to V \\ id_V: x \mapsto x \end{array} $$
also jeder Vektor wird auf sich selbst abgebildet. Als Matrix wäre das die Einheitsmatrix. ─ christian_strack 19.06.2020 um 14:26
Und wie lässt sich das auf mein Beispiel übertragen? l: V->W und k: W->V. Was ist es dann bei der Komposition?
─
kamil
19.06.2020 um 14:45
Die Komposition ist eine "Hintereinanderausführung"
Nehmen wir mal eine invertierbare lineare Abbildung
$$ f(x) = 2x $$
und eine beliebige nicht notwendigerweise lineare Abbildung
$$ g(x) = x^2 $$
Die Komposition ist dann
$$ f \circ g = f(g(x)) = 2(x^2) = 2x^2 $$
Die Identitätsabbildung auf \( \mathbb{R} \) wäre
$$ id_{\mathbb{R}}(x) = x $$ ─ christian_strack 19.06.2020 um 14:55
Nehmen wir mal eine invertierbare lineare Abbildung
$$ f(x) = 2x $$
und eine beliebige nicht notwendigerweise lineare Abbildung
$$ g(x) = x^2 $$
Die Komposition ist dann
$$ f \circ g = f(g(x)) = 2(x^2) = 2x^2 $$
Die Identitätsabbildung auf \( \mathbb{R} \) wäre
$$ id_{\mathbb{R}}(x) = x $$ ─ christian_strack 19.06.2020 um 14:55
Und wie funktioniert das mit k=f‾¹ ?
Wenn k=3x, dann ist k=f‾¹=x/3.
L sei 2x. Dann ist f‾¹ o l = 2x/3.
Das wird ja nicht auf V->V abgebildet, oder?
─ kamil 19.06.2020 um 15:29
Wenn k=3x, dann ist k=f‾¹=x/3.
L sei 2x. Dann ist f‾¹ o l = 2x/3.
Das wird ja nicht auf V->V abgebildet, oder?
─ kamil 19.06.2020 um 15:29
Hier ist ja nur nach gefragt ob die allgemeine Aussage gilt. Da wir ein Gegenbeispiel finden, gilt dies schon als Gegenbeweis.
Wenn wir die Verkettung der Funktion
$$ k(x) = 3x , \quad k^{-1}(x) = \frac x 3 $$
verketten, erhalten wir
$$ k(k^{-1}(x)) = 3 \frac x 3 = x = id_{\mathbb{R}} $$
Wie du aber schon richtig sagst, ist
$$ k^{-1} \circ l = k^{-1}(l(x)) = \frac {2x} 3 $$
nicht die Identitätsabbildung. Trotzdem ist es eine Abbildung die von \( V \) nach \( V \) abbildet, mit \( V = \mathbb{R} \). Nur es kommt eben nicht die Identitätsabbildung raus und danach ist ja gefragt. :) ─ christian_strack 19.06.2020 um 15:57
Wenn wir die Verkettung der Funktion
$$ k(x) = 3x , \quad k^{-1}(x) = \frac x 3 $$
verketten, erhalten wir
$$ k(k^{-1}(x)) = 3 \frac x 3 = x = id_{\mathbb{R}} $$
Wie du aber schon richtig sagst, ist
$$ k^{-1} \circ l = k^{-1}(l(x)) = \frac {2x} 3 $$
nicht die Identitätsabbildung. Trotzdem ist es eine Abbildung die von \( V \) nach \( V \) abbildet, mit \( V = \mathbb{R} \). Nur es kommt eben nicht die Identitätsabbildung raus und danach ist ja gefragt. :) ─ christian_strack 19.06.2020 um 15:57
Also nochmal genauer. Es ist hier nicht danach gefragt ob es so einen Fall gibt indem das stimmt, sondern ob das allgemeingültig ist und das ist es eben nicht :)
─
christian_strack
19.06.2020 um 15:59
Aso, so ist das gemeint. :)
Jetzt bleibt noch die Frage meinerseits übrig, wieso das zweite Häkchen auf dem zweiten Bild mit dem Integral nicht stimmt? Kann man keine komplexen Zahlen auf R abbilden, oder wie? ─ kamil 19.06.2020 um 16:58
Jetzt bleibt noch die Frage meinerseits übrig, wieso das zweite Häkchen auf dem zweiten Bild mit dem Integral nicht stimmt? Kann man keine komplexen Zahlen auf R abbilden, oder wie? ─ kamil 19.06.2020 um 16:58
Der Vektorraum \( \mathcal{C}[0,1] \) ist vermutlich der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall \( [0,1] \) und nicht der Raum der komplexen Zahlen.
Wir brauchen diese Funktionen damit wir hier von \(0\) bis \( 1 \) integrieren können.
Stetige Funktionen bilden auch einen Vektorraum. Einen sogenannten Funktionenraum.
Unsere Abbildung bildet also eine Funktion auf eine reelle Zahl ab.
Nun prüfen wir ob eine lineare Abbildung vorliegt. Mit \( f \in \mathcal{C}[0,1] \) und \( \lambda \in \mathbb{K} \)
$$ \begin{array}{cccc} l(\lambda \cdot f) & = & \int\limits_0^1 | \lambda f(x) |^2 \mathrm{d}x \\ & = & \int\limits_0^1 |\lambda |^2 \cdot | f(x) |^2 \mathrm{d}x \\ & = & \lambda ^2 \int\limits_0^1 |f(x) |^2 \mathrm{d}x \\ & = & \lambda ^2 l(f) \\ & \neq & \lambda l(f) \end{array} $$
─ christian_strack 20.06.2020 um 14:00
Wir brauchen diese Funktionen damit wir hier von \(0\) bis \( 1 \) integrieren können.
Stetige Funktionen bilden auch einen Vektorraum. Einen sogenannten Funktionenraum.
Unsere Abbildung bildet also eine Funktion auf eine reelle Zahl ab.
Nun prüfen wir ob eine lineare Abbildung vorliegt. Mit \( f \in \mathcal{C}[0,1] \) und \( \lambda \in \mathbb{K} \)
$$ \begin{array}{cccc} l(\lambda \cdot f) & = & \int\limits_0^1 | \lambda f(x) |^2 \mathrm{d}x \\ & = & \int\limits_0^1 |\lambda |^2 \cdot | f(x) |^2 \mathrm{d}x \\ & = & \lambda ^2 \int\limits_0^1 |f(x) |^2 \mathrm{d}x \\ & = & \lambda ^2 l(f) \\ & \neq & \lambda l(f) \end{array} $$
─ christian_strack 20.06.2020 um 14:00
Danke! Wäre cool, wenn du mir noch die Frage mit der Darstellungsmatrix beantworten könntest. Du erklärst alles sehr gut und verständlich ;)
─
kamil
20.06.2020 um 14:52
Sehr gerne und freut mich zu hören :)
Welche Frage mit der Darstellungsmatrix meinst du? ─ christian_strack 20.06.2020 um 15:17
Welche Frage mit der Darstellungsmatrix meinst du? ─ christian_strack 20.06.2020 um 15:17
"Darstellungsmatrix bestimmen" mit Polynomen/Monombasen
─
kamil
20.06.2020 um 15:20
https://www.mathefragen.de/frage/20419/darstellungsmateix-bestimmen/
diese? ─ christian_strack 20.06.2020 um 15:22
diese? ─ christian_strack 20.06.2020 um 15:22
Yup, genau diese
─
kamil
20.06.2020 um 16:21