Moin,

einfach Schritt für Schritt vorgehen:
(i) N ist normale Untergruppe. Man muss also zeigen dass N eine Untegruppe ist. Das ist relativ simpel. Dann muss man noch zeigen, dass $gNg^{-1}=N$ für alle $g\in G$ ist, auch das folgt relativ schnell aus der Definition von N.
(ii) Hier muss man zeigen, dass N der größte Normalteiler von G ist, der in U enthalten ist. Nehmen wir uns also einen weiteren Normalteiler $N'\subset U$ her und nehmen an, dass er schon $N$ enthält. Dann müssen wir nur noch zeigen, dass auch $N'$ in $N$ enthalten ist. Sei also $u\in N'\subset U$. Dann ist also auch für jedes g: $g^{-1}\cdot u \cdot g \in N'$ weil $N'$ ein Normalteiler war. Kannst du von hier aus weitermachen?

LG