Beide Aussagen sind wahr.

Die Aussage a) gilt sogar für jeden Topologischen Raum. Seien \(K_1,K_2 \subset V\) kompakt und \( K_1 \cup K_2 \subset \cup_{i=1}^{\infty} O_i \) eine offene Überdeckung. Dann sind \( K_1 \subset \cup_{i=1}^{\infty} O_i \) und \( K_2 \subset \cup_{i=1}^{\infty} O_i \) offene Überdeckungen und wegen der Kompaktheit erhalten wir endliche Teilüberdeckungen \( K_1 \subset \cup_{k=1}^m O_{i_k} \) und \( K_2 \subset \cup_{l=1}^n O_{i_l} \). Hiermit erhalten wir dann eine endliche Teilüberdeckung \( K_1 \cup K_2 \subset (\cup_{k=1}^m O_{i_k}) \cup (\cup_{l=1}^n O_{i_l}) \). Also ist \(K_1 \cup K_2\) kompakt.

Die Aussage b) gilt sogar für jeden Hausdorff-Raum. Seien \(K_1, K_2 \subset V \) kompakt. Da \(V\) hausdorffsch ist, sind damit \(K_1\) und \(K_2\) auch abgeschlossen. Also ist auch der Schnitt \( K_1 \cap K_2 \) abgeschlossen und somit das Komplement \( (K_1 \cap K_2)^c \) offen. Sei nun \( K_1 \cap K_2 \subset \cup_{i=1}^{\infty} O_i \) eine offene Überdeckung. Dann ist \( K_1 \subset V = (K_1 \cap K_2) \cup (K_1 \cap K_2)^c \subset \cup_{i=1}^{\infty} O_i \cup (K_1 \cap K_2)^c \) eine offene Überdeckung und wegen der Kompaktheit von \(K_1\) erhalten wir eine endliche Teilüberdeckung \( K_1 \subset \cup_{k=1}^m O_{i_k} \cup (K_1 \cap K_2)^c \). Wegen \( K_1 \cap K_2 \subset K_1 \) und \( (K_1 \cap K_2) \cap (K_1 \cap K_2)^c = \emptyset \) erhalten wir hieraus die endliche Teilüberdeckung \( K_1 \cap K_2 \subset \cup_{k=1}^m O_{i_k} \). Also ist \( K_1 \cap K_2 \) kompakt.