Tschebyschow Polynome

Aufrufe: 66     Aktiv: 08.07.2021 um 12:17

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Hey, kann mir jemand erklären was da genau passiert? De Moivre Formel kenne ich, aber was soll das mit \(cos(n * arccos x)\) = \(cos(nx)\) ? Weil die Formel stimmt doch so erstmal nicht? 
Danke schonmal
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1 Antwort
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Da sind zwei Tippfehler im Buch:
in der dritten Zeile sollte links stehen: \(x=\cos \theta\)
und etwas weiter unten dann \(\cos (n\arccos x) = \cos (n\theta) =...\).
Der Rest passt.
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Vielen Dank, dann habe ich es verstanden. Es muss dann allerdings auch noch in der dritten Zeile beim Sinus das n weg oder?


Im Folgenden wird dann die Formel \(T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x) \) bewiesen und als Korollar wird dann gesagt, dass der führende Koeffizient von \(T_n\) gleich \(2^{n-1}\) ist.
Aber wenn ich jetzt sagen wir Mal n = 5 habe und x = 1, dann wenn ich das einsetzte habe ich doch
\(T_n(1) = \) \(cos(n*arccos(x)) = cos(5*arccos(1)) = 1^5 = 1\) und nicht irgendwie \(T_n(1) = 2^{5-1} 1^5 = 16 \)
  ─   h1tm4n 08.07.2021 um 06:37

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Ja, in der 3. Zeile muss das n im sin auch noch weg.
Das 2^(n-1) ist ja nur der Koeffizient der höchsten Potenz von x im Polynom. Hinter der höchsten Potenz geht es aber noch weiter. Z.B. ist \(T_5(x)=16\,x^5-20\,x^3+5\,x\) und damit ist \(T_5(1)=1\), wie es sein sollte.
  ─   mikn 08.07.2021 um 11:10

Stimmt, ich hab nur in der Summe auf den ersten Summanden geachtet und nicht bedacht, dass in den anderen Summanden ja auch nochmal Potenzen vom Grad n vorkommen.

Mir ist aber noch nicht klar, wieso aus der obigen Formel jetzt folgt, dass der führende Koeffizient \(2^{n-1}\) ist
  ─   h1tm4n 08.07.2021 um 11:59

Aus der Rekursionsformel \(T_n(x)=2\,x\,T_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)\) sieht man: der führende Summand in \(T_n\) also der mit \(x^n\), ist der führende Summand von \(T_{n-1}\) mal \(2x\). Es kommt also bei jedem Anwenden der Rekursionsformel der Faktor \(2x\) davor, beim Koeffizienten also der Faktor 2. Um von T_1 zu T_n zu kommen, muss man die Formel n-1mal anwenden, gibt als Koeffizient \(2^{n-1}\). Kann man formal mit Induktion beweisen, wäre aber mMn zu aufwendig, da man es ja so sieht.   ─   mikn 08.07.2021 um 12:17

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