Tschebyschow Polynome

Aufrufe: 672     Aktiv: 08.07.2021 um 12:17
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Hey, kann mir jemand erklären was da genau passiert? De Moivre Formel kenne ich, aber was soll das mit \(cos(n * arccos x)\) = \(cos(nx)\) ? Weil die Formel stimmt doch so erstmal nicht? 
Danke schonmal
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Da sind zwei Tippfehler im Buch:
in der dritten Zeile sollte links stehen: \(x=\cos \theta\)
und etwas weiter unten dann \(\cos (n\arccos x) = \cos (n\theta) =...\).
Der Rest passt.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K

 
Vielen Dank, dann habe ich es verstanden. Es muss dann allerdings auch noch in der dritten Zeile beim Sinus das n weg oder?


Im Folgenden wird dann die Formel \(T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x) \) bewiesen und als Korollar wird dann gesagt, dass der führende Koeffizient von \(T_n\) gleich \(2^{n-1}\) ist.
Aber wenn ich jetzt sagen wir Mal n = 5 habe und x = 1, dann wenn ich das einsetzte habe ich doch
\(T_n(1) = \) \(cos(n*arccos(x)) = cos(5*arccos(1)) = 1^5 = 1\) und nicht irgendwie \(T_n(1) = 2^{5-1} 1^5 = 16 \)   ─   h1tm4n 08.07.2021 um 06:37
Stimmt, ich hab nur in der Summe auf den ersten Summanden geachtet und nicht bedacht, dass in den anderen Summanden ja auch nochmal Potenzen vom Grad n vorkommen.

Mir ist aber noch nicht klar, wieso aus der obigen Formel jetzt folgt, dass der führende Koeffizient \(2^{n-1}\) ist   ─   h1tm4n 08.07.2021 um 11:59

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