Hilfe bei Mengenlehre benötigt

Erste Frage Aufrufe: 200     Aktiv: 01.11.2023 um 02:27

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Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen und komme aber nicht dahinte, wie man mit ordentlicher Syntax die verschiedenen Aussagen in 1.6 a) b) c) zu erklären.
Der Lehrer möchte, dass ich diese Fälle genau begründest und nicht nur grafisch ablesbar als Begründung anzugeben, sondern mit ordentlicher Syntax alle Fälle zu beschreiben und zu begründen.
Vielen Dank fürs Anschauen und Lösen!

Arthur
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Aus der Skizze, die Du gemacht hast, kannst Du ja ersehen, dass Aussage b) falsch ist. Zum Beweis kannst Du irgendeinen Punkt \((x,y)\) aus Deiner Skizze ablesen, der in \(M_3 \cup M_1\) liegt, aber nicht in \(M_4\). Dann musst Du dann noch nachrechnen, dass das auch stimmt. Fertig.

Schwieriger sind die richtigen Aussagen, z.B. a).
Bei a) ist zu zeigen: \(M_2 \subset M_3 \cap M_1\).
Eine solche Mengeninklusion zeigt man klassischerweise so:
Sei \((x,y)\in M_2\;\;\;\;\; (1)\)
Zeige dann, dass \((x,y)\in M_3 \cap M_1\;\;\;\;\;(2)\)
(1) kann man auch so schreiben: \(|x|+|y| \le 2\;\;\;\;\; (3)\)
Mit der Dreiecksungleichung "\(|x+y| \le |x|+|y|\)" folgt: \(|x+y| \le 2\).
Anders ausgedrückt: \((x,y)\in M_3\;\;\;\;\; (4)\)

Da \(|y|=|-y|\), folgt aus (3): \(|x|+|-y| \le 2\;\;\;\;\; (5)\)
Mit der Dreiecksungleichung folgt: \(|x+(-y)| \le 2\), also \(|x-y| \le 2\).
Anders ausgedrückt: \((x,y)\in M_1\;\;\;\;\; (6)\)
Aus (4) und (6) folgt (2).

Bei Aussage c) beweist man dann auf ähnliche Art und Weise wie Aufgabe a).
Hier startet man mir der Aussage
\((x,y)\in M_2\), aber \((x,y)\not \in M_4\).
Den zweiten Teil dieser Aussage brauchst Du gar nicht (Nebelkerze). Du kannst also starten mit: \((x,y)\in M_2\).
Dann musst Du zeigen
\((x,y)\in M_2\) und \((x,y)\in M_3\)
Der erste Teil der obigen Aussage ist banal. Den zweiten Teil hast Du schon in a) gezeigt.





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