Ebenengleichung

Aufrufe: 541     Aktiv: 12.08.2021 um 16:29
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Liebes Mathefragen-Team,

könnt ihr mir sagen, wie ich auf die Koordinaten von x1 und x2 komme? Wo kommen die 1 und 0 her? Wieso zerlege ich 5-2x3 auf diese Weise?

Über eine Antwort von euch würde ich mich sehr freuen.

Gruß hannah

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Die gegebenen Lösung etwas umständlicher erklärt :  fasse die Gleichung als LGS auf, füge 2 Nullzeilen hinzu, löse nach dem Gauss-Verfahren auf, für die fehlenden Variablen lassen sich Parameter einfügen,wenn man die Darstellung so nicht mag.
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Vielen Dank für eure Antworten. Jetzt ist es mir wesentlich klarer.
Gruß Hannah   ─   user74b5b1 12.08.2021 um 16:29

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Die Lösung ist doch ziemlich klar formuliert. Welche Koordinaten von $x_1$ und $x_2$ sind denn gemeint? Du kannst übrigens auch die dritte Zeile nach $x_3$ auflösen. Die Ebenengleichung hat keine eindeutige Darstellung. Du musst also lediglich die drei Koordinaten mit Hilfe der Koordinatengleichung darstellen, indem du dir überlegst $x_1 =\ldots$, $x_2=\ldots$ und $x_3=\ldots$ Es ist klar, dass bis zu zwei von den Gleichungen von den anderen Koordinaten abhängen, da ja alle drei Gleichungen die Koordinatengleichung erfüllen müssen.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Ich weiß nicht, wie Dir das Lösen einer solchen Aufgabe beigebracht wurde.

Die Darstellung, die in der Lösung geboten wird, ist vermutlich die kürzeste, die möglich ist. Allerdings könnte sie auch ungewohnt sein, wenn man Parameterdarstellungen vor allem mit den Parametern $r$, $s$ oder $t$ kennt.

Ein ganz anderer Ansatz zur Lösung mit dem gleichen Ergebnis sieht so aus:
Vorüberlegung:
a) Eine Ebene ist ja durch drei Punkte festgelegt, die nicht auf einer Geraden liegen dürfen.
b) Alle Punkte auf der Ebene müssen die gegebene Ebenengleichung erfüllen.

Strategie:
Finde drei solche Punkte und stelle damit die Parameterform auf.

Weg:
1. Erster Punkt: $A(0|5|0)$. Der liegt auf $E$, denn $5=5$
2. Zweiter Punkt: $B(1|5|0)$. Der hat nur eine andere $x_1$-Koordinate, die aber in der Koordinatenform gar nicht vorkommt. Liegt auch auf $E$.
3. Dritter Punkt: $C(0|3|1)$. Auch hier gilt $5=5$, durch einfache Zerlegung von 5 in eine naheliegende Summe. Weil die erste Koordinate wieder $0$ ist, kann $C$ nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$ liegen.
4. Aufstellen der Parametergleichung:
Verwende $\vec{OA}$ als Stützvektor und die Spannvektoren, $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$.

Dann kommt die gleiche Darstellung heraus.

Hinweis: Weil Du auch völlig andere drei Punkte wählen kannst, kann eine richtige Lösung für die Parameterform auch ganz anders aussehen. Das in der Lösung durchgeführte Vorgehen ist für jemanden, der solche Aufgaben korrigieren muss, am angenehmsten, weil damit nur wenige verschiedene Lösungen erzeugt werden können...

Wenn Du tatsächlich das in der Lösung vorstellte Verfahren erklärt bekommen möchtest, müsste man deutlich weiter ausholen und eine Menge Dinge erklären, die in Aufgabe und in der Lösung nicht hingeschrieben werden. Das würde dann aber zu einem grundsätzlichen Thema...
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Hallo Joergwausw,

danke für deine Antwort, sie hat mir schon etwas weiter geholfen. Tatsächlich bekäme ich das Verfahren gerne erklärt. Wäre das möglich?

Gruß Hannah   ─   user74b5b1 12.08.2021 um 08:30
Das hatte ich befürchtet... ;-)
Ich probiere es mal und beschränke mich dabei auf den vorligenden Fall, also einen dreidimensionalen Raum mit den üblichen Koordinatenachsen $x_1$, $x_2$ und $x_3$.

Dieser dreidimensionale Raum hat unendlich viele Punkte, die mit $(x_1|x_2|x_3)$ dargestellt werden können, wobei für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ alle reellen Zahlen erlaubt sind. Als Menge sieht das so aus:
$$
\mathbb{R}^3=\left\{\; (x_1|x_2|x_3) \text{ mit }x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\;\right\}
$$

Eine Ebene ist nun eine Teilmenge von allen Punkten. Zu der Ebene gehören immer noch unendlich viele Punkte, aber eben nicht mehr alle. Es besteht nun die Notwendigkeit zu erklären, welche Punkte zu der Ebene gehören (und welche nicht dazugehören ergibt sich dann daraus automatisch).

Eine Möglichkeit ist die sogenannte Koordinatenform, d.h die Ebene müsste man vollständig so aufschrieben:
$$
E=\left\{\; (x_1|x_2|x_3) \text{ mit }x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\text{ und }x_2+2x_3=5\;\right\}
$$
Es ist also eine Einschränkung dazugekommen, die man als Ebenengleichung bezeichnet.

Das kann man aber auch so schreiben:
$$
E=\left\{\; (x_1|5-2x_3|x_3) \text{ mit }x_1,x_3\in\mathbb{R}\;\right\}
$$
Denn die Bedingung nach dem $\text{und}$ kann man zu $x_2=5-2x_3$ umformen. Das setzt man dann vorne ein und hat nur noch zwei beliebige Zahlen, nämlich $x_1$ und $x_3$. Die hatte man im Schritt davor im Prinzip auch schon, denn $x_2$ und $x_3$ sind ja durch die Ebenengleichung miteinander verknüpft. In dieser Schreibweise sieht man das sofort, dass es nur noch zwei Freiheitsgrade (also zwei beliebig wählbare Zahlen) gibt.
(ich lasse hier jetzt weg, dass man auch nach $x_3$ umformen könnte)

Die Parameterform hat ebenfalls zwei Freiheitsgrade, in der für mich üblichen Form sieht das so aus, also Vektorschreibweise:
$$
\left(\begin{array}{x} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{x} p_1\\ p_2\\ p_3\\ \end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{x} v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{x} w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{array}\right)\qquad , r,s\in\mathbb{R}
$$
Das ist aber nichts anderes als eine andere Darstellung für drei Gleichungen. Die erste Zeile ist $x_1=p_1+r\cdot v_1+s\cdot w_1$ und die anderen beiden Zeilen haben eine $2$ bzw. eine $3$ in den Indizes.

In der Schreibweise von oben sähe das dann so aus (ich verkürze das Ungetüm etwas, sorry, dass es so kompliziert wird):
$$
E=\left\{\; (x_1|x_2|x_3) \text{ mit }x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\text{ und }x_1=\ldots\text{ und }x_2=\ldots\text{und }x_3=\ldots\text{, wobei }r,s\in\mathbb{R}\;\right\}
$$

Erinnerung: Wir hatten ja schon im Prinzip das hier:
$$
E=\left\{\; (x_1|x_2|x_3) \text{ mit }x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\text{ und }x_2=5-2x_3\;\right\}
$$
Also haben wir hier: $x_1=r$, wobei $r\in\mathbb{R}$ beliebig ist. Dann gelten $x_2=5-2x_3$ und $x_3=s$, wobei $s\in\mathbb{R}$ beliebig ist. Für $x_2$ kann man auch $x_2=5-2s$ schreiben.

Wenn ich diese drei Gleichungen nun geschickt untereinanderschreibe, dann gilt:
$$
\left|
\begin{array}{clll}
x_1&=&+r\\
x_2&=5&&-2s\\
x_3&=&&+s
\end{array}
\right|
$$
Und dann muss man nur noch die drei Gleichungen in die Vektorschreibweise verwandeln und hat dann die Lösung raus.

Letzter Hinweis: Ich mache das mit dem $r$ und dem $s$, damit deutlich wird, dass hier etwas gewählt werden darf, nämlich die beiden Parameter. Natürlich kann man $r$ als Koordinate auf der $x_1$-Achse interpretieren und $s$ ist die Koordinate auf der $x_3$-Achse. Beide Koordinaten können beliebig gewählt werden und legen damit die dritte Koordinate eindeutig fest (durch die Ebenengleichung).
Die "übliche" Interpretation der Parameterform ist aber, dass man vom Ort, den der Stützvektor angibt, sich jeweils ein bestimmtes Vielfaches der Spannvektoren weiterbewegt um zu allen möglichen Punkten auf der Ebene zu gelangen. Diese Parameter haben hier aber nicht zwingend die anschauliche Bedeutung einer Koordinate auf einer Achse des Koordinatensystems.
Diese Lösung zeigt, dass man das gezielt so einrichten kann, dass beide Parameter jeweils einer Koordinate entsprechen. Wenn das so gemacht wird, dann ersetzt man halt $r$ und $s$ durch die beiden Koordinaten.   ─   joergwausw 12.08.2021 um 09:52

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