Wie löse ich diese Aufgabe? / Bestimmen Sie das Intervall, in dem die folgende Funktionsvorschrift..

Aufrufe: 735     Aktiv: 05.01.2021 um 16:01
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Die Klammern lassen sich verändern, kann mir jemand einen Lösungsvorschlag machen? Das wäre toll!

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2 Antworten
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Da der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein kann prüfst du für welche \(x\)-Werte die Ungleichungen \(x-6\geq0\) und \(x+2>0\) erfüllt sind. Durch einfache Äquivalenzumstellung nach \(x\) umstellen. Bei der zweiten Ungleichung ist der Fall, dass die Wurzel gleich Null wird ausgeschlossen, da die Wurzel im Nenner steht und man nicht durch Null teilen kann.

 

Hoffe das hilft dir weiter.

 

P.S.: Hier mal noch eine Skizze zu deinem Beispiel mit \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x-7}}\):

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Ich verstehe leider überhaupt nicht, wie ich auf die Lösung komme. Die erste Ungleichung verstehe ich, da wähle ich ∞ aber wie ich auf das zweite Ergebnis komme, verstehe ich nicht..   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 13:51
Die erste Ungleichung nach \(x\) umgestellt ergibt:
\(x\geq 6\). Das erfüllen alle \(x\) im Intervall von \([6,\infty)\). Die Linke Klammet ist eckig, weil die 6 tatsächlich erreicht wird. Runde Klammern bedeuten, dass diese „Grenzen“ nicht erreicht werden. Bei \(+\infty\) und \(-\infty\) schreibt man immer eine runde Klammer, weil Unendlich an sich als Wert ja nie erreicht werden kann. Welches Intervall erhältst du also für deine zweite ungleichung. Und warum muss man da dann aufpassen hinsichtlich der ersten Ungleichung?   ─   maqu 05.01.2021 um 14:07
Das bedeutet, die zweite Ungleichung sieht so aus = x+2≥0 = x = -2?   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 14:13
Und die Lösung der Aufgabe wäre [6, ∞) oder bei einem anderen Beispiel: f(x)= √x−6 bruch √x+5   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 14:15
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Größer gleich geht ja nich, nur "echt" größer als Null, aber die Umstellung ist richtig. Also gilt \(x>-2\). Und für welche \(x\)-Werte ist diese Ungleichung alle erfüllt. Was für ein Intervall Mus herauskommen?
   ─   maqu 05.01.2021 um 14:15
[-2, ∞) ?   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 14:17
Ich habe oben ein weiteres Beispiel, das alte Bild habe ich ersetzt. Wäre der Lösungsansatz so richtig, wie ich es geschrieben habe?   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 14:19
Worauf ich hinaus will ... du musst immer prüfen für welche \(x\)-Werte der Term innerhalb der Wurzel positiv ist. (Die Wurzel im Nenner darf aber nicht Null werden!) Für das Intervall der Ungleichung \(x>-2\) würde \((-2,\infty)\) herauskommen. Hier muss man aber darauf achten, dass durch die obere Wurzel die \(6\) bereits als untere Grenze festgelegt ist. Wenn ich dort also für \(x=-1\) oder \(x=3\) in der oberen Wurzel einsetzen würde (obwohl dies in der Wurzel im Nenner ein Ergebnis liefern würde), würde man innerhalb der oberen Wurzel dann etwas negatives erhalten, was nicht geht. Deswegen setzt sich in dem Fall das obere Intervall durch und die Lösung ist \([6,+\infty)\).
   ─   maqu 05.01.2021 um 14:21
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Nicht ganz ... nicht \([-2,\infty)\), sondern \((-2,\infty)\), weil die \(-2\) durch die Ungleichung \(x>-2\) nicht mit dazu zählt.
Bei deinem anderen Beispiel wäre der Ansatz der gleiche.   ─   maqu 05.01.2021 um 14:23
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Wichtig bei der Überlegung ist, deine möglichen \(x\)-Werte müssen beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Dafür bildet man die Schnittmenge.
Ein etwas anderes Beispiel wäre z.B.: \(f(x)=\dfrac{\sqrt{6-x}}{\sqrt{x+2}}\). Hier kommst du für oben auf die Ungleichung \(6-x\geq 0\) also \(6\geq x\) und somit auf das Intervall \((-\infty,6]\). Für unten ergibt sich wie eben die Ungleichung \(x+2>0\) also \(x>-2\) und damit das Intervall \((-2,+\infty\). Nun kannst du trotzdem nur \(x\)-Werte einsetzen, welche beide Ungleichungen erfüllen. Dies gilt für die Schnittmenge \((-\infty,6]\cap (-2,+\infty)=(-2,6]\). Ich hoffe dadurch wird es etwas deutlicher?   ─   maqu 05.01.2021 um 14:33
Okay, ich denke das hilft mir! Ich habe oben die Aufgabe ersetzt, meine Lösung wäre: (-5, 7]. Passt das?   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 14:45
Die Lösung ist immer noch wie ganz am Anfang \(6 \le x \lt \infty \) oder anders geschrieben \(x \in [6 , \infty)\)   ─   scotchwhisky 05.01.2021 um 14:49
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Ehm für das Beispiel \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x-7}}\) nicht ganz. Oben hast du das Intervall \([-5,+\infty)\) und unten \((7,+\infty\) ergibt als Schnittmenge \((7,+\infty)\). Ich empfehle dir die Intervalle einmal auf dem Zahlenstrahl deutlich zu machen. Nur die \(x\)-Werte die in beiden Intervallen liegen sind deine Lösung. Ich hänge für dein letztes Beispiel nochmal eine Skizze an meine Antwort dran.   ─   maqu 05.01.2021 um 14:51
Da steht jetzt ja auch was anderes Meine Antwort bezog sich auf die Frage mit \(\frac {\sqrt {x-6}} {\sqrt {x+2}}\)

   ─   scotchwhisky 05.01.2021 um 14:56
Okay, tut mir leid für die Verwirrung. Mir hilft deine Skizze auf jeden Fall schonmal weiter, danke dafür. Ich habe jetzt oben nochmal eine neue Aufgabe und für diese auch eine Lösung eingetragen, falls diese nicht stimmt, wäre ich euch unendlich dankbar, wenn ihr sie mir kurz schreiben könnt, anhand eurer Erklärungen, kann ich das dann später auch sicherlich verstehen. Habe 10 Stunden hinter mir und mir platzt der Schädel, dann kann ich aber schonmal die anderen Aufgaben freischalten. Danke euch/dir!   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 15:00
Skizze passt auch wieder nicht zur Aufgabe oben. Da scheint sich zwischendurch auch wieder die Aufgabenstellung geändert zu haben..   ─   scotchwhisky 05.01.2021 um 15:05
Genau, die Skizze war für eine andere Aufgabe!   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 15:09
Ich habe eine neue Aufgabe bekommen, da die alte falsch beantwortet wurde! Daher die neue Aufgabe oben mit einem Lösungsvorschlag, sollte dieser nicht passen, würde ich mich über den richtigen freuend, da wie gesagt mein Kopf platzt und ich super gerne mit den anderen Aufgaben weitermachen würde! :)   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 15:13
Es steht da, worauf sich die Skizze bezieht   ─   maqu 05.01.2021 um 15:17
Ich sag ja nichts gegen die Skizze. Sie passt nur nicht zur gerade angezeigten Frage.   ─   scotchwhisky 05.01.2021 um 15:26
Ich habe jetzt zur Aufgabe ganz oben eine Skizze erstellt, stimmt die?   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 15:34
Die Klammern stimmen nicht, oder? Es müsste (5,+ ∞] ?   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 15:35
Der Zähler darf 0 werden. deshalb gehört 5 mit zum Def.Bereich ; also eckige Klammer [ 5 , ..und rechts die runde Klammer \( [5 ; \infty)\)   ─   scotchwhisky 05.01.2021 um 15:43
Vielen, vielen Dank!   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 16:01

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\( 6 \le x < \infty\)

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Das bedeutet (∞ ; 2)?   ─   viccoinformatik 05.01.2021 um 13:17

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