Reihendarstellung vom Logarithmus

Erste Frage Aufrufe: 344     Aktiv: 01.10.2022 um 14:06

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Ich sitze derzeit an der Herleitung der Reihendarstellung von \(\log(x+1)\) von James Gregory:
Es ist bekannt, dass \((\log(x+1))^{\prime} = \frac{1}{1+x}\) ist, daher folgt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
\[\log(x+1)=\int_0^x\frac{dt}{1+t}\]
Nun nutze er die geometrische Reihe, welche für \(|q|<1\) konvergiert:
\[\sum_{k=0}^{\infty}q^k = \frac{1}{1-q}\]
Wir bekommen für \(|t|<1\):
\[\frac{1}{1-t} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot t^k\]
Dies setzte er nun in das Integral ein und bekam:
\[\log(x+1)=\int_0^x  \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot t^k dt =  \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot  \int_0^x  t^k dt = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot \frac{x^{k+1}}{k+1}\]

Das was ich nicht ganz verstehe ist warum diese Gleichung auch für \(x=1\) gilt, denn für diese ist die Umformung mit der geometrischen Reihe doch gar nicht erlaubt oder wird dann mit einem uneigentlichen Integral gearbeitet, also:
\[\log(x+1) = \lim_{n\rightarrow x} \int_0^n\frac{dt}{1+t}\]

Die Herleitung in meinem Buch ist leider sehr knapp und legt lediglich die Beweisidee offen. Würde mich freuen, wenn mir jemand meinen Denkfehler erklären könnte.
gefragt

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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Sehr schöne Frage die du hier gestellt hast, auch mit der Verwendung von LaTeX! Das wollte ich an der Stele nur einmal loswerden. Ich bin mir sicher das dir die Helfys mit reichlich Hochschulwissen sehr gerne weiterhelfen werden.👍 Ich persönlich bin dir leider hierbei keine Hilfe, verfolge die Frage aber mit Spannung weiter!
  ─   maqu 01.10.2022 um 13:26

War tatsächlich nicht meine erste Frage, komme aber irgendwie nicht in meinen alten Account rein :(   ─   cedric.r 01.10.2022 um 14:03

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Verstehe😅, aber trotzdem gute Frage👍 Sowas sollte hier viel öfter vorkommen, ist aber leider eher eine Ausnahme   ─   maqu 01.10.2022 um 14:05
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2 Antworten
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Das ist eine gute Frage, und gut, dass Du so genau bei der Herleitung mitdenkst (und auch LaTeX benutzt). Diese Herleitung gilt in der Tat nur für $|x|<1$.
Die Gültigkeit auch in $x=1$ ist nicht ganz trivial, kann aber mit Stetigkeit und dem Abelschen Grenzwertsatz begründet werden. Genau Dein Beispiel findest Du auf https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a2/13/vorlesungen/a2-skript.pdf
Folie 20/21.
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Super, danke für die Hilfe, mit den Folien habe ich es jetzt auch verstanden   ─   cedric.r 01.10.2022 um 14:00

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Also zunächst bekommst du für \(|t|<1: \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot t^k=\frac{1}{1+t}\).
Was den Fall \(x=1\) angeht: alternierende harmonische Reihe.
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Da es hier um Reihen geht bin ich vom Wissensstand der ersten Analysis-Wochen ausgegangen. Falls der Grenzwert nicht bewiesen wurde (wovon ich aber ausgehe), dann hast du recht und man müsste das noch zeigen. Dein Ansatz über Abel geht natürlich auch, finde ich hier aber etwas Overkill. Mal abwarten, wie die Rückmeldung ist.   ─   orbit 01.10.2022 um 13:43

Der Partialsummenfolge der alternierende harmonische Reihe.   ─   orbit 01.10.2022 um 13:53

Genau, also dass es stimmt war mir schon klar, aber ich war an dem Beweis interessiert, da ich als Aufgabe die Reihendarstellung für den Arcustangens bestimmen muss, dies hatte ich über den Ansatz probiert und kam auf beschriebenes Problem   ─   cedric.r 01.10.2022 um 14:02

Ja, ganz genau. Es würde mich doch sehr stark wundern, wenn das nicht bekannt ist. Ich unterstelle dem Fragensteller auch nicht, dass er das nicht kann. Vielleicht hat er aber nicht dran gedacht und versucht die Argumentation im Buch auf den Fall zu übertragen. Ich würde jetzt einfach mal die Rückmeldung abwarten.   ─   orbit 01.10.2022 um 14:06

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