Taylorreihe - Konvergenzradius bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 45     Aktiv: 14.12.2021 um 22:19

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Aufgabe: Bestimmen Sie für die folgende Funktion die Taylorreihe um x0=0 sowie deren Konvergenzradius.


Die Funktion habe ich zunächst umgeschrieben und danach die ersten 4 Ableitungen gebildet. Danach den Entwicklungspunkt x0=0 in die Ableitungen eingesetzt und diese dann in die Formel für die Taylorreihe. Danach muss man ja daraus die allgemeine Formel für die Taylorreihe der Funktion bilden. Soweit so gut.



Jetzt gilt es den Konvergenzradius zu bestimmen und da komm ich nicht weiter. Laut Lehrbuch wird er mit der Formel für r die ich aufgeschrieben habe ausgerechnet. Daraus entsteht ein Doppelbruch und Doppelbrüche löst man doch auf indem man die beiden "äußeren" Ausdrücke multipliziert und dann teilt durch die beiden "inneren" multiplizierten Ausdrücke. Das hab ich gemacht und danach kann ja das (k+1)! über dem Bruchstrich aufteilen in (k+1)*k!, damit man k! Fakultät beide rauskürzen kann. Übrig bleibt dann halt der letzte Ausdruck. Hinten in den Lösungen steht das hier als Ergebnis:


Wo liegt mein Fehler?
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Deine Reihe stimmt nicht, das $2k-3$ ist nur der letzte Faktor, da kommen noch welche davor. Richtig ist für $k\ge 2$:
$$a_k = (-1)^{k-1}\frac1{k!}\prod\limits_{i=2}^k (2i-3)$$
Damit kommt der Konvergenzradius auch hin.
Beim Konvergenzradius achte darauf, nicht den Bruch und den limes zu mischen. Rechne sauber und korrekt so:
$|\frac{a_k}{a_{k+1}}| = \ldots = \ldots = \frac{k+1}{2k-1} \longrightarrow \frac12$.
Und achte auf Klammern (bei Deiner bisherigen Rechnung fehlen einige).
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