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Deine Reihe stimmt nicht, das $2k-3$ ist nur der letzte Faktor, da kommen noch welche davor. Richtig ist für $k\ge 2$:
$$a_k = (-1)^{k-1}\frac1{k!}\prod\limits_{i=2}^k (2i-3)$$
Damit kommt der Konvergenzradius auch hin.
Beim Konvergenzradius achte darauf, nicht den Bruch und den limes zu mischen. Rechne sauber und korrekt so:
$|\frac{a_k}{a_{k+1}}| = \ldots = \ldots = \frac{k+1}{2k-1} \longrightarrow \frac12$.
Und achte auf Klammern (bei Deiner bisherigen Rechnung fehlen einige).
$$a_k = (-1)^{k-1}\frac1{k!}\prod\limits_{i=2}^k (2i-3)$$
Damit kommt der Konvergenzradius auch hin.
Beim Konvergenzradius achte darauf, nicht den Bruch und den limes zu mischen. Rechne sauber und korrekt so:
$|\frac{a_k}{a_{k+1}}| = \ldots = \ldots = \frac{k+1}{2k-1} \longrightarrow \frac12$.
Und achte auf Klammern (bei Deiner bisherigen Rechnung fehlen einige).
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mikn
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