Hallo, ich habe folgende Frage.
Wir haben im Unterricht das untenstehende Beispiel durchgemacht und ich verstehe nicht genau, wieso man in ersten und zweiten Fall unterscheidet und wie man auf diese kommt.

Beispiel: 
x² < 9; x < 3

Die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung ist ganz klar, hierbei muss ja nichts gerechnet werden, aber bei der ersten schon. Beim ersten brachten wir die 9 auf die linke Seite (x² - 9 < 0) und nutzten dann die binomischen Formeln um in zwei Fälle zu unterscheiden. Das ist, wo ich aussteige ( (x-3) (x+3) < 0 ) 1. Fall: x-3 < 0 ∧ x + 3      2. Fall: x-3 > 0 ∧ x+3 < 0. Das bringt dann zwei verschiedene Lösungsmengen, die zweite ist leer, das versthe ich. Was ich aber nicht verstehe, ist wie man auf die Fallunterschiede kommt, wieso man die größer-kleiner-Zeichen vertauscht und wie die Lösungsmengen der Fälle dann eine ganze Lösungsmenge ergeben. 

Den Produkt-Null-Satz verstehe ich, aber kann in nur bei Gleichungen anwenden. MIr ist nicht bewusst, wie ich die größer-kleiner-Zeichen setze, da ja beim Produkt-Null-Satz eigentlich ein Faktor genau 0 sein müsste und nicht größer oder kleiner als 0

Ich hätte noch eine weiter kurze Frage:
Könnte mir jemand den exakten Unterschied zwischen (quadratischen) Gleichungen bzw. Ungleichungen und (quadratischen) Funktionen erklären?


Würde mich über eine Antwort sehr freuen