Extremstellen mehrdimensional

Aufrufe: 64     Aktiv: 10.07.2022 um 15:58

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Der Gradient (x^3-x, y^3-y)

wie bestimme ich die extremstellen?
zunächst muss man ja den gradienten, also die beiden gleichungen =0 setzen und auflösen. Nur wie krieg ich dann die punkte heraus? die beiden gleichungen sind unabhängig voneinander. Für x krieg ich drei werte (0,1,-1) heraus. Wie bestimme ich den dazugehörigen y-wert? Ich kann die Gleichung ja nicht nach y umstellen, weil dann drei verschiedene Werte herauskommen
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1 Antwort
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Alle Zahlenpaare (x,y), für die der Gradient der Nullvektor wird, sind Kandidaten für Extremstellen. Wieviele Kandidaten findest Du also, und welche?
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9? (0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,-1)   ─   nutzer123 10.07.2022 um 15:25

Genau. Einsetzen zeigt ja, dass diese das verlangte erfüllen. Und andere eben nicht.
Auch eine nette Aussagenlogik-Übung: Es muss
$(x=0 \lor x=1\lor x=-1) \land (y=0 \lor y=1\lor y=-1)$
erfüllt sein. Ausrechnen mit Distributivgesetz ergibt $(x=0\land y=0)\lor (x=0\land y=1)\lor ...$.
Und sicherheitshalber: Das sind erstmal nur Kandidaten für Extremstellen. Ob es wirklich Extremstellen sind, ist jetzt noch nicht klar.
  ─   mikn 10.07.2022 um 15:28

Ok, muss ich jetzt für jede dieser (x,y) werte Die Hessematrix bestimmen und davon die Determinante etc.? Weil das würde ja ziemlich lange dauern?   ─   nutzer123 10.07.2022 um 15:41

Du kannst die Hessematrix auch allgemein berechnen und dann in Abhängigkeit von x und y Aussagen über die Definitheit machen   ─   mathejean 10.07.2022 um 15:47

Natürlich bestimmst Du die HM erstmal allgemein (geht ja gar nicht anders!) und setzt dann ein. Vor allen Dingen fang an und überlege nicht vorher, was wie lange in welchem Fall dauert. In der Zeit, die Du darein investierst, hast Du schon mind. 3 Punkte überprüft.   ─   mikn 10.07.2022 um 15:50

Ok, danke!   ─   nutzer123 10.07.2022 um 15:58

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