Komplexe Zahlen in gaußschen Zahlenebene

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 16.03.2021 um 17:52

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  1. Man finde alle sechsten Wurzeln von z = 125 in komplexen Zahlen und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.

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Die Aufgabe kann man fast im Kopf rechnen. Siehe dazu Lernplaylist Unterhaltsame Mathematik. Hier kurz die Idee: Die 6. Wurzel hat den Betrag von \(\sqrt{5}\), und da zu z der Winkel 180° gehört, ist eine Wurzel garantiert \( \sqrt{5} ( \cos 30° + i \sin 30° ) \). Da die Wurzel alle denselben Betrag haben und jeweils um 60° gegeneinander gedreht sind, kannst sofort alle 6 Wurzeln aufschreiben. Versuch es!
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Professorrs wurde bereits informiert.
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Das kann man fast im Kopf rechnen. Alle Wurzeln haben den Betrag \(\sqrt{5}\), und außerdem muß eine Wurzel das Argument 180°/6= 30° haben. Damit hat men eine Wurzel, nämlich \( \sqrt{5} (\cos 30° + i \sin 30°) \). Alle fünf anderen findet man durch erhöhen des Winkels um jeweils 60°. Siehe dazu meine Lernplaylist Unterhaltsame Mathematik oder auch Grundkurs Mathematik. Im letzteren findet man fast alle zu Komlexen Zahlen.
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\(z=-125=125\cdot (-1)=125\cdot e^{(\pi+2k\pi)i}\), denn \(e^{\phi i}=cos(\phi+2k\pi)+isin(\phi+2k\pi);2\pi=360^0\) (Eulersche Identität)
jetzt bekommst du für \(k=0,1,2,3,4\) fünf Wurzeln \(w_k=\sqrt[5]z=z^{\frac{1}{5}}\)
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