Weißt du, wie man Extremwertaufgaben löst? 

1. Als erstes musst du eine Formel für die Zielgröße aufstellen. Das ist hier das Volumen des Zylinders (das ist das, was maximal werden soll). Also \(V=\pi r^2h\). 

2. Da du eine Funktion mit zwei Variablen aber nicht maximieren kannst, muss du jetzt eine Nebenbedingung aufstellen, wo du \(r\), \(r^2\) oder \(h\) in Abhängigkeit der anderen Variable ausdrückst, damit du diesen Ausdruck dann bei deiner Zielgröße ersetzen kannst.

3. Dadurch erhältst du eine Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen, entweder \(r\) oder \(h\), abhängt. Es kann unterschiedlich kompliziert werden, je nachdem, wie man die Nebenbedingung auflöst. Die Zielfunktion sollte so weit vereinfacht werden, dass du sie einfach ableiten kannst (im besten Fall ein Polynom). 

4. Die Zielfunktion maximierst du nun nach der üblichen Vorgehensweise durch Berechnung der Extrempunkte (du suchst hier ein Maximum der Zielfunktion). Hinreichende Bedingung nicht vergessen! Ggf. musst du noch einen Definitionsbereich angeben und Randwerte betrachten, um das globale Maximum zu berechnen. 

5. Der gefundene Wert (Maximum) wird jetzt noch in die Nebenbedingung und Zielfunktion eingesetzt, um alle anderen Angaben einschließlich des maximalen Volumens zu berechnen. 

Das knifflige bei Extremwertaufgaben ist das Finden der Nebenbedingung. Dazu hilft ganz oft eine Zeichnung. Das habe ich einmal für dich übernommen. Jetzt überlegst du, welche Größen du kennst und wie du eine Gleichung aufstellen kannst, die \(r\) und \(h\) enthält, um diese Gleichung nach einer der Variablen aufzulösen (Tipp: Pythagoras ist der beste Freund des Mathematikers. ;)) 

Ich hoffe, es ist erkennbar, was die Kugel und was den Zylinder darstellt. :D