Konvexe Funktion bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 771     Aktiv: 25.01.2020 um 11:36

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Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass eine strikt konvexe Funktion f : [a,b] ! R höchstens ein globales Minimum hat. 

b) Geben Sie eine konvexe Funktion an, die mindestens zwei globale Minima hat. Weisen Sie dazu die Konvexität der von Ihnen gewählten Funktion nach und geben Sie zwei konkrete Minimalstellen an. 

c) Zeigen Sie, dass eine Funktion g : [a,b] !R, die konkav ist und ein globales Minimum an einer inneren Stelle x 02 (a,b) hat, eine konstante Funktion sein muss. Sie dürfen (müssen aber nicht) Differenzierbarkeit annehmen oder unterstützende Zeichnungen anfertigen.

 

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zu a)
Mach es per Widerspruchsbeweis. nimm an du hast eine Funktion, die strikt konvex ist und zwei globale Minima hat. Dann legst du eine Verbindungsstrecke durch die beiden Minima (Def. von konvexität) und kommst über die Def. von globalen Minima zu einem Widerspruch.

b) Beispielsweise \(f(x) = 0\). Konvexität zu zeigen bekommst du schon hin :D.

c)Du nimmst an, dass so eine Funktion existiert, die nicht konstant ist,. Dann betrachtest du \(x,y\), wobei \(x\) links und \(y\) rechts  vom globalen Minimum(\(x*\)) liegt. Dann setzt du die \(x,y\) in die Def. für konkavität ein und kommst zum Widerspruch, weil \(x*\) ja unter der Verbindungsstrecke von \(x,y\) liegt (Wenn g nicht konstant)

Falls du irgendwo nicht weiter kommen solltest kannst du ja nochmal schreiben.

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